Esercizio sui polinomi simmetrici

[ludovica.sarandrea]

Salve, ho questo esercizio: ' Scrivere $x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2$ come polinomio nei polinomi simmetrici elementari. Io l'ho risolto cosi, ma non so se e' giusto
f- $S^2$ (parlo d i S2 ma ho problemi nello scriverlo) = $x^2 y^2 + y^2 z^2 +z^2 x^2$ - $(xy + yz+ zx)^2$ = $-2x y^2 z$ - $-2 x^2 y z$ - $-2 x y z^2$
A questo punto ho f- 2S1S3 = 0
Il risultato finale e' quindi che il polinomio f si scrive come $S^2$ 2 - 2S1S3
Mi scuso se la forma non e' corretta ma sto cercando di imparare e ancora ho qualche problema

[j18eos]

Polinomio simmetrico a coefficienti in?

Ch'è \(\displaystyle S_2\)?

[ludovica.sarandrea]

S1 S2 S3

[liberatorimatteo]

"j18eos":Polinomio simmetrico a coefficienti in?

Ch'è \(\displaystyle S_2\)?

A coefficienti in $\mathbb[Z]$
Abbiamo tre incognite $x,y,z$ per cui
$S_1=x+y+z$
$S_2=xy+xz+yz$
$S_3=xyz$

$f=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2$
Il polinomio è già ordinato (diamo priorità alle $x$ poi alle $y$ e infine alle z $z$)
Quindi sottraggo $(S_1)^(2-2)(S_2)^(2-0)(S_3)^(0)=(S_2)^2$

$f-(S_2)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2x^2yz+2xy^2z+2xyz^2)=$
$=-2x^2yz-2xy^2z-2xyz^2$

Sottraggo $-2(S_1)^(2-1)(S_2)^(1-1)(S_3)^(1)=-2S_1S_3$

$f-(S_2)^2+2S_1S_3=-2x^2yz-2xy^2z-2xyz^2+2(x+y+z)(x^2yz)=0$

Quindi

$f-(S_2)^2+2S_1S_3=0 \Rightarrow f=(S_2)^2-2S_1S_3$

Forse con A,B,C sarebbe stato più veloce. Se traduci il mio nickname saprai chi sono xD