Esercizio Jacobson
Chiedo conferma sul seguente esercizio tratto dallo Jacobson, Basica Algebra 1, pag. 126.
Sol.:
$mathbb{Q}[sqrt(2)]={a+bsqrt(2): a,b in QQ}$, perciò si tratta di determinare $a,b$ razionali tali che $a+bsqrt(2)=sqrt(3)$. Sviluppando i conti si trova che $sqrt(2)=(3-a^2-2b^2)/(2ab)$, ma ciò è assurdo poiché $sqrt(2)$ è irrazionale. Quindi la prima affermazione è verificata
$u$ è algebrico su $Q$ poiché esiste un polinomio a coefficienti in $QQ$ tale da avere $u$ come zero, e tale polinomio è $f=X^4-10X^2+1$.
Per provare l'ultimo punto ho pensato di considerare la valutazione \( \nu : \mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{Q} \) tale che \( \sum a_iX^i \mapsto \sum a_iu^i \)
Il nucleo della valutazione è $(f)$, e pertanto posso considerare la proiezione sul quoziente \( \pi: \mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{Q}[X]/(f) \) che manda ogni polinomio in $QQ[X]$ nella sua classe laterale.
Per il teorema di fattorizzazione dell'omomorfismo, ho che $QQ[X]//I cong Im (\nu)$.
Per ottenere la tesi devo verificare che è veramente $Im(\nu)=QQ$, e provo a farlo per doppia inclusione:
" \( \subset \)"
Se $h=sum a_iX^i$ in $QQ[X]$, allora $nu(h)=sum a_iu^i$ in $QQ$. Perciò $Im(nu) subset QQ$.
" \( \supset \)"
$Im(nu) subset QQ$ è sottocampo che contiene $u=nu(X)$ e $QQ=nu(G)$, dove con $G$ intendo tutti i polinomi costanti. Perciò $QQ subset Im(nu)$.
Quindi $Im(\nu)=QQ$ e perciò $QQ[X]//I cong QQ$
Spero di non aver commesso errori, grazie a chi vorrà segnalarmi eventuali inesattezze
Show that $sqrt(3) notin mathbb{Q}[sqrt(2)]$ and that $u=sqrt(3) +sqrt(2)$ is algebraic over $mathbb{Q}$ and determine an ideal $I$ such that $mathbb{Q}[X]//I cong mathbb{Q}$
Sol.:
$mathbb{Q}[sqrt(2)]={a+bsqrt(2): a,b in QQ}$, perciò si tratta di determinare $a,b$ razionali tali che $a+bsqrt(2)=sqrt(3)$. Sviluppando i conti si trova che $sqrt(2)=(3-a^2-2b^2)/(2ab)$, ma ciò è assurdo poiché $sqrt(2)$ è irrazionale. Quindi la prima affermazione è verificata
$u$ è algebrico su $Q$ poiché esiste un polinomio a coefficienti in $QQ$ tale da avere $u$ come zero, e tale polinomio è $f=X^4-10X^2+1$.
Per provare l'ultimo punto ho pensato di considerare la valutazione \( \nu : \mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{Q} \) tale che \( \sum a_iX^i \mapsto \sum a_iu^i \)
Il nucleo della valutazione è $(f)$, e pertanto posso considerare la proiezione sul quoziente \( \pi: \mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{Q}[X]/(f) \) che manda ogni polinomio in $QQ[X]$ nella sua classe laterale.
Per il teorema di fattorizzazione dell'omomorfismo, ho che $QQ[X]//I cong Im (\nu)$.
Per ottenere la tesi devo verificare che è veramente $Im(\nu)=QQ$, e provo a farlo per doppia inclusione:
" \( \subset \)"
Se $h=sum a_iX^i$ in $QQ[X]$, allora $nu(h)=sum a_iu^i$ in $QQ$. Perciò $Im(nu) subset QQ$.
" \( \supset \)"
$Im(nu) subset QQ$ è sottocampo che contiene $u=nu(X)$ e $QQ=nu(G)$, dove con $G$ intendo tutti i polinomi costanti. Perciò $QQ subset Im(nu)$.
Quindi $Im(\nu)=QQ$ e perciò $QQ[X]//I cong QQ$
Spero di non aver commesso errori, grazie a chi vorrà segnalarmi eventuali inesattezze
Risposte
Se ho capito bene, dev'essere \(\displaystyle\nu:p\in\mathbb{Q}[X]\to p(u)\in\mathbb{Q}(u)\) (il campo estensione di \(\displaystyle\mathbb{Q}\) mediante l'elemento (irrazionale) \(\displaystyle u\)).
Grazie mille per la risposta innanzitutto. Questo perché valutando un polinomio in $u$ non è detto che il risultato sia un razionale, corretto?
Quindi mi basta considerare la tua $nu$ e vedere che il nucleo è $I=(f)$, dove con $f$ intendo quello che ho scritto prima, e fattorizzare al solito modo?
Quindi mi basta considerare la tua $nu$ e vedere che il nucleo è $I=(f)$, dove con $f$ intendo quello che ho scritto prima, e fattorizzare al solito modo?
E certo: \(\displaystyle\nu(X)=u\notin\mathbb{Q}\)!
Ancòra: puoi affermare che \(\displaystyle f\in\ker\nu\), ma perché \(\displaystyle\ker\nu=(f)\)?
Ancòra: puoi affermare che \(\displaystyle f\in\ker\nu\), ma perché \(\displaystyle\ker\nu=(f)\)?
Perché $f$ è il polinomio minimo, e questo è unico.
Può andare?
Grazie mille, mi hai fatto comprendere perfettamente dove stavo sbagliando
Può andare?
Grazie mille, mi hai fatto comprendere perfettamente dove stavo sbagliando
Esatto!, essendo \(\displaystyle\mathbb{Q}[X]\) un P.I.D., hai che \(\displaystyle\ker\nu=(f)\equiv I\) e tale è un ideale massimale; per ciò
\[
\mathbb{Q}[X]_{\displaystyle/I}\cong Im\nu\subseteq\mathbb{Q}(u)
\]
ovvero \(\displaystyle Im\nu\) è un sottocampo di \(\displaystyle\mathbb{Q}(u)\).
A questo punto è facile affermare che \(\displaystyle Im\nu=\mathbb{Q}(u)\): perché?
\[
\mathbb{Q}[X]_{\displaystyle/I}\cong Im\nu\subseteq\mathbb{Q}(u)
\]
ovvero \(\displaystyle Im\nu\) è un sottocampo di \(\displaystyle\mathbb{Q}(u)\).
A questo punto è facile affermare che \(\displaystyle Im\nu=\mathbb{Q}(u)\): perché?
Bene
Quest'ultima tua richiesta l'avevo praticamente scritta nel primo messaggio, in pratica è sufficiente mostrare che l'aggiunzione di $u$ su $QQ$ (cioè il più piccolo sottocampo contenente $QQ$ e $u$) è contenuta nell'immagine di $nu$.
Tutto ok ?
Ti ringrazio moltissimo
Quest'ultima tua richiesta l'avevo praticamente scritta nel primo messaggio, in pratica è sufficiente mostrare che l'aggiunzione di $u$ su $QQ$ (cioè il più piccolo sottocampo contenente $QQ$ e $u$) è contenuta nell'immagine di $nu$.
"feddy":
" \( \supset \)"
$Im(nu) subset QQ$ è sottocampo che contiene $u=nu(X)$ e $QQ=nu(G)$, dove con $G$ intendo tutti i polinomi costanti. Perciò $QQ subset Im(nu)$.
Quindi $Im(\nu)=QQ$ e perciò $QQ[X]//I cong QQ$
Tutto ok ?
Ti ringrazio moltissimo
Ora è tutto inoppugnabile! 
Ti ringrazio molto, ciao !
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