Permutazioni delle radici nel gruppo di Galois
Buongiorno,
stavo riguardando la Teoria di Galois sul Bosch, quando ad un certo punto fa un esempio del gruppo di Galois di del polinomio $f=(X^2 -a)^2 -b$, con $b>a^2$.
Esempi concreti sono $X^2-4X^2 -6$ o $X^4-2$.
Le radici di $f$ in $CC$ sono $alpha=sqrt(a+sqrt(b)), -alpha, beta=sqrt(a-sqrt(b)), -beta$.
Il campo di spezzamento di tale polinomio su $QQ$ è dato da $L=QQ(alpha,beta)$ e si vede che $[L]=8$.
Ora, so che il gruppo di Galois $G=Gal(L//QQ)$ è formato dalle permutazioni delle radici di $f$. Inoltre $|G|=8$, per cui è formato da $8$ permutazioni.
Inoltre ogni elemento $sigma in G$ è tale per cui $sigma(-alpha)=-sigma(alpha)$ e $sigma(-beta)=-sigma(beta)$, questo poiché omomorfismo di campi.
Infatti, se si vuole definire una tale permutazione, si hanno in totale $4$ possibilità per $sigma(alpha)$ mentre $sigma(-alpha)$ deve essere definita tramite la relazione $sigma(-alpha)=-sigma(alpha)$.
Da qui in poi non mi è chiaro il ragionamento:
Poi considera gli elementi $sigma,tau in Gal(L//QQ)$ che descrivono esplicitamente $G$:
Calcolando poi gli ordini di $sigma$ e $tau$ si ha che $G=langle sigma,tau rangle=langle sigma rangle \cup langle tau rangle =langle sigma rangle \cup langle tau rangle tau$, da cui in modo esplicito:
$G={1,sigma,sigma^2,sigma^3,tau,sigmatau,sigma^2tau,sigma^3tau}$.
Non mi è chiara la parte che ho quotato. Capisco infatti che per $sigma(alpha)$ posso avere $4$ possibilità, ma non capisco come la condizione $sigma(-alpha)=-sigma(alpha)$ mi debba portare alle conclusioni.
Inoltre, non capisco proprio come facciano a saltar fuori quel $sigma$ e $tau$ così definiti. Credo che però questo derivi proprio dal mio dubbio sulle permutazioni delle radici.
Grazie a chiunque avrà la cortesia di rispondere
stavo riguardando la Teoria di Galois sul Bosch, quando ad un certo punto fa un esempio del gruppo di Galois di del polinomio $f=(X^2 -a)^2 -b$, con $b>a^2$.
Esempi concreti sono $X^2-4X^2 -6$ o $X^4-2$.
Le radici di $f$ in $CC$ sono $alpha=sqrt(a+sqrt(b)), -alpha, beta=sqrt(a-sqrt(b)), -beta$.
Il campo di spezzamento di tale polinomio su $QQ$ è dato da $L=QQ(alpha,beta)$ e si vede che $[L]=8$.
Ora, so che il gruppo di Galois $G=Gal(L//QQ)$ è formato dalle permutazioni delle radici di $f$. Inoltre $|G|=8$, per cui è formato da $8$ permutazioni.
Inoltre ogni elemento $sigma in G$ è tale per cui $sigma(-alpha)=-sigma(alpha)$ e $sigma(-beta)=-sigma(beta)$, questo poiché omomorfismo di campi.
Infatti, se si vuole definire una tale permutazione, si hanno in totale $4$ possibilità per $sigma(alpha)$ mentre $sigma(-alpha)$ deve essere definita tramite la relazione $sigma(-alpha)=-sigma(alpha)$.
Da qui in poi non mi è chiaro il ragionamento:
Per fissare $sigma(beta)$ rimangono quindi solo $2$ possibilità e di nuovo $sigma(-beta)$ è fissata dalla relazione $sigma(-beta)=-sigma(beta)$. Pertanto esistono proprio $8$ permutazioni in $S({alpha,-alpha,beta,-beta})$ che soddisfano $sigma(-alpha)=-sigma(alpha)$ e $sigma(-beta)=-sigma(beta)$.
Poi considera gli elementi $sigma,tau in Gal(L//QQ)$ che descrivono esplicitamente $G$:
$ sigma:alphamapstobeta, beta mapsto-alpha $
$ tau: alphamapsto-alpha, beta mapstobeta $
$ tau: alphamapsto-alpha, beta mapstobeta $
Calcolando poi gli ordini di $sigma$ e $tau$ si ha che $G=langle sigma,tau rangle=langle sigma rangle \cup langle tau rangle =langle sigma rangle \cup langle tau rangle tau$, da cui in modo esplicito:
$G={1,sigma,sigma^2,sigma^3,tau,sigmatau,sigma^2tau,sigma^3tau}$.
Non mi è chiara la parte che ho quotato. Capisco infatti che per $sigma(alpha)$ posso avere $4$ possibilità, ma non capisco come la condizione $sigma(-alpha)=-sigma(alpha)$ mi debba portare alle conclusioni.
Inoltre, non capisco proprio come facciano a saltar fuori quel $sigma$ e $tau$ così definiti. Credo che però questo derivi proprio dal mio dubbio sulle permutazioni delle radici.
Grazie a chiunque avrà la cortesia di rispondere
Risposte
Ciao feddy,
ricordati che un automorfismo di un campo di spezzamento deve mandare radici in radici, per esempio: se $sigma$ manda $alpha$ in una radice, diciamo $beta$, allora $-alpha$ viene automaticamente mandato in $-beta$, dunque le possibilità per $sigma(beta)$ si riducono a due: o lo mando in $alpha$ o in $-alpha$(non ho altre scelte, se scelgo di nuovo $beta$ perdo l'iniettività, se scelgo un'altra immagine allora non appartiene al gruppo di galois).
ricordati che un automorfismo di un campo di spezzamento deve mandare radici in radici, per esempio: se $sigma$ manda $alpha$ in una radice, diciamo $beta$, allora $-alpha$ viene automaticamente mandato in $-beta$, dunque le possibilità per $sigma(beta)$ si riducono a due: o lo mando in $alpha$ o in $-alpha$(non ho altre scelte, se scelgo di nuovo $beta$ perdo l'iniettività, se scelgo un'altra immagine allora non appartiene al gruppo di galois).
Sulla parte quotata: per costruire una permutazione $sigma$ di ${alpha,-alpha,beta,-beta}$ tale che $sigma(-alpha) = -sigma(alpha)$ e $sigma(-beta)=-sigma(beta)$ basta scegliere $sigma(alpha)$ e $sigma(beta)$. E' chiaro che hai 4 scelte per $sigma(alpha)$ (tali quattro scelte sono $alpha$, $-alpha$, $beta$, $-beta$). Ora una volta scelto $sigma(alpha)$, come dice il testo $sigma(-alpha)$ è determinato univocamente dal fatto di essere l'opposto di $sigma(alpha)$. Rimane da scegliere $sigma(beta)$ (infatti da tale scelta $sigma(-beta)$ rimane bloccato dal fatto di essere l'opposto di $sigma(beta)$). Ma è chiaro che $sigma(beta)$ non può essere uguale a $sigma(alpha)$ e nemmeno a $sigma(-alpha)$ (perché $sigma$ è biiettiva!) quindi delle quattro possibili scelte per $sigma(beta)$ (cioè $alpha$, $-alpha$, $beta$, $-beta$) due sono escluse (cioè $sigma(alpha)$ e $sigma(-alpha)$) quindi rimangono due scelte per $sigma(beta)$.
Per riassumere: quattro scelte per $sigma(alpha)$, due scelte per $sigma(beta)$ quindi in totale $4*2 = 8$ scelte per $sigma$.
Spero di averti risposto. Ciao!
Per riassumere: quattro scelte per $sigma(alpha)$, due scelte per $sigma(beta)$ quindi in totale $4*2 = 8$ scelte per $sigma$.
Spero di averti risposto. Ciao!
Vi ringrazio entrambi per le risposte, che erano proprio quello che cercavo.
Quindi per $tau$ io motiverei così:
se $tau$ manda la prima radice $alpha$ nel suo opposto $-alpha$, e quindi ($-alpha$ viene automaticamente mandato in $alpha$), allora $beta$ non può andare con $tau$ in $-alpha$ o $alpha$ (altrimenti perdo l'iniettività): può andare in $beta$ o in $-beta$. Il testo sceglie quindi di mandarlo in $beta$.
Un'ultima questione: dopo aver descritto esplicitamente il gruppo di Galois del polinomio, per costruire il "reticolo" dei sottogruppi generati dagli automorfismi, devo trovare l'ordine dei sottogruppi di $G$. Per esempio, l'ordine di $sigma$ è $4$, mentre quello di $tau$ è 2.
Ma poi vedo che il testo costruisce un reticolo (non ovviamente uguale) a quello che fa Martino qui.
L'immagine a cui mi riferisco è questa, ossia quella contenuta nel quinto messaggio.
Nell'esempio di Martino, sotto ${1}$ ci sono tutti sottogruppi di ordine $2$. E fin qui penso di esserci. Sopra ci sono sottogruppi di ordine $4$. Non riesco però a comprendere come siano stati scelti quelli di ordine $4$. Per casi? Oppure c'è qualcos'altro che mi sfugge?
Grazie per la vostra preziosa attenzione. Buonanotte
Quindi per $tau$ io motiverei così:
se $tau$ manda la prima radice $alpha$ nel suo opposto $-alpha$, e quindi ($-alpha$ viene automaticamente mandato in $alpha$), allora $beta$ non può andare con $tau$ in $-alpha$ o $alpha$ (altrimenti perdo l'iniettività): può andare in $beta$ o in $-beta$. Il testo sceglie quindi di mandarlo in $beta$.
Un'ultima questione: dopo aver descritto esplicitamente il gruppo di Galois del polinomio, per costruire il "reticolo" dei sottogruppi generati dagli automorfismi, devo trovare l'ordine dei sottogruppi di $G$. Per esempio, l'ordine di $sigma$ è $4$, mentre quello di $tau$ è 2.
Ma poi vedo che il testo costruisce un reticolo (non ovviamente uguale) a quello che fa Martino qui.
L'immagine a cui mi riferisco è questa, ossia quella contenuta nel quinto messaggio.
Nell'esempio di Martino, sotto ${1}$ ci sono tutti sottogruppi di ordine $2$. E fin qui penso di esserci. Sopra ci sono sottogruppi di ordine $4$. Non riesco però a comprendere come siano stati scelti quelli di ordine $4$. Per casi? Oppure c'è qualcos'altro che mi sfugge?
Grazie per la vostra preziosa attenzione. Buonanotte
"feddy":Si tratta di un tipico esempio di "sporcarsi le mani", ovvero in prima battuta fai l'elenco degli elementi del gruppo, dei suoi sottogruppi ciclici, e poi cerchi di capire chi sono i sottogruppi non ciclici. Probabilmente se dovessi farlo da zero riempirei due o tre fogli di conti. Una volta che l'hai fatto riesci a trovare un procedimento più elegante. Sto facendo "filosofia" su come in genere si ottengono risultati "eleganti" (sporcandosi le mani e ripulendole solo dopo).
Nell'esempio di Martino, sotto ${1}$ ci sono tutti sottogruppi di ordine $2$. E fin qui penso di esserci. Sopra ci sono sottogruppi di ordine $4$. Non riesco però a comprendere come siano stati scelti quelli di ordine $4$. Per casi? Oppure c'è qualcos'altro che mi sfugge?
Capisco, infatti non riuscivo a capacitarmi del fatto che la cosa sembrasse immediata. Grazie mille 
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