Conservare proprietà di campo tramite isomorfismo

[feddy]

Buongiorno a tutti, oggi mi sono imbattutto in questo dubbio:

so che, dato un campo $mathbb{K}$, se considero l'applicazione $epsilon: mathbb{K}[X] rightarrow mathbb{K}$ t.c $sum a_iX^i mapsto a_0$, che ha $ker(epsilon)=(X)$, ho che $mathbb{K}[X]//(X) cong mathbb{K}$, e dal momento che $mathbb{K}$ è un campo, allora pure $mathbb{K}[X]//(X)$ è campo.

Non riesco a trovare una spiegazione formale a questo fatto: perché se l'anello quoziente è isomorfo a un campo, allora necessariamente deve essere un campo pure lui? Credo che si debba usare il fatto che esiste una biezione e che ogni elemento di $mathbb{K}$ ammette inverso, ma non ne vengo fuori.


Grazie per la vostra attenzione

[feddy]

Forse ci sono, butto giù un'idea possibile.

Suppongo che tra $mathbb{K}[X]//(I)$ e $mathbb{K}$ esista un isomorfismo $varphi$. Dove $(I)$ è l'ideale generato da $I$.


Chiamo $mathbb{F}=mathbb{K}[X]//(I)$.

Poiché per ipotesi $mathbb{K}$ è campo, allora per ogni $a in mathbb{K}$ esiste $b$ univocamente determinato t. c. $a*b=1_K$.

Ma poiché $varphi$ è suriettiva, allora esiste un $c in mathbb{F}$ tale che $varphi(c)=a$ e analogamente esiste $d in mathbb{F}$ tale che $varphi(d)=a$.

Ma allora ho: $a*b=varphi(c*d)=1_K$. Ma allora deve essere necessariamente che $c*d=1_F$ e per l'iniettività segue che ogni elemento ha inverso univocamente determinato. Può andare?

[Shocker1]

Mi sembra tutto corretto.

[feddy]

Grazie Shocker