Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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E' poco più che un giochino...
Definisco in maniera induttiva l'\(\displaystyle n \)-esimo polinomio ciclotomico nella maniera che segue: \[\displaystyle \Phi_{1}(x)=x-1 \] e \[\displaystyle \Phi_{n}(x) = \frac{x^n -1}{\prod_{d | n, \; d \ne n} \Phi_{d} (x)} \]
Prove it! Se \(\displaystyle n=p^2 \) con \(\displaystyle p \) primo, allora \[\displaystyle \Phi_{p^2}(x)=1+x^p + \dots + x^{p(p-1)} \]
Alla ricerca di qualche esercizio vedo questo:
c'è scritto USA Harvard-Mit mathematics tournament...
Beh proviamo...
poi mi accorgo che è troppo semplice! Uff già che era uscito
Comunque ecco la traccia:
Supponi che sia f una funzione che a ogni numero reale x associa un valore f(x) e supponi che l'equazione:
$f(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)+f(x_5)-8$
sia soddisfatta per tutti i numeri reali $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$
Quanto vale ...
Tre insiemi di valori numerici formati solo da valori interi positivi tutti diversi, con almeno 3 elementi ciascuno $A = {a_1,a_2,\ldots,a_n}$, $B = {b_1,b_2,\ldots,b_n}$, $C = {c_1,c_2,\ldots,c_n}$ hanno tutti un massimo uguale $M$ e hanno tutti un numero di elementi $n$. Dimostrare che
[size=110]\[\displaystyle 3Mn^2>{2 \over n}\sum_{i=1}^n (a_i+b_i+c_i)+{4 \over n}\sum_{i=2}^n (a_i+b_i+c_i)+{6 \over n}\sum_{i=3}^n (a_i+b_i+c_i)+\ldots + 2\sum_{i=n}^n (a_i+b_i+c_i)-3Mn\][/size]
Hint: È ...
Risolvere il sistema che segue :
\(\begin{cases} (x-1)(y^2+6)=y(x^2+1)\\(y-1)(x^2+6)=x(y^2+1) \end{cases}\)
Ho modificato un problemino (risolto con l'aiuto di kobeilprofeta e di @melia) ,
con la speranza che diventi impossibile da risolvere .
Siano $a,b$ numeri primi dispari ,
$x$ intero COMPOSTO dispari $ in N_0$ ;
se :
$x$ non è multiplo di $b$
$x+b$ non è multiplo di $a$
allora
$x-a$ non può essere multiplo di $b$ .
Siete d'accordo ?
Buongiorno a tutti,
da qualche tempo sto aiutando un mio ex studente ad affrontare l'equivalente russo della nostra maturità.
L'esame è molto articolato e per quanto riguarda la parte di matematica è davvero impegnativo. Direi che raggiungere il punteggio massimo è una sfida davvero per pochissimi.
Propongo al forum questo esercizio che ancora non ho risolto. Voglio dare il mio contributo russo a questo nobile sito.
Determinare i valori del parametro a per cui il seguente problema ammette ...
Quante volte al giorno le lancette delle ore e minuti di un orologio formano un angolo retto?
Definito \( \displaystyle \mathbb{N}=\{1,2,3,4,..\}\), siano \(\displaystyle a,b,c \in \mathbb{N}\).
La terna $(a,b,c)$ è detta terna pitagorica se $a^2+b^2=c^2$.
1) Dimostrare che se $(a,b,c)$ è una terna pitagorica e $\text{M.C.D.}(a,b)=1$,
allora $c$ è dispari e $a$ e $b$ hanno parità diversa (*).
Definisco terna pitagorica primitiva (brevemente, t.p.p.) una terna pitagorica $(a,b,c)$
tale che $\text{M.C.D.}(a,b)=1$ con ...
Siano $a,b,c$ numeri naturali composti $>1$
non esprimibili in forma di potenza (ad esempio diversi da 9, 25 , 16 , 125 , 32 , 81, etc ) ,
trovare una tripletta $a,b,c$ tale che $a=b+c$
e $M.C.D.(a,b,c)=1$
Buon lavoro
Un oggetto costa 80 euro, lo pago con 100 euro e mi fanno un resto di 20 euro. Se lo pagassi con infiniti euro non pagherei niente.
Oggi in classe, dopo aver finito la verifica di mate e quindi con la mente ancora lì, ho pensato: data una qualsiasi retta nel piano, si scelga un'altra retta complanare ad essa. Qual è la probabilità che le due rette si intersechino?
Potrebbe essere il 50%? Visto che sono infinite sia le rette che intersecano la prima sia quelle parallele ad essa...
La parola a voi più esperti!
Scoprire l'errore nella "dimostrazione" del seguente "teorema".
Proviamo che l'insieme dei numeri naturali privato dello zero \(\mathbb{N}_0\) ha massimo e che tale massimo è \(1\).
Dim.: Per assurdo, supponiamo che esista un numero \(n\in \mathbb{N}_0\) maggiore di \(1\) che sia il massimo di \(\mathbb{N}_0\).
Si ha evidentemente \(n^2>n\) con \(n^2\in \mathbb{N}_0\). Ma ciò è assurdo, perché \( n\) è il massimo di \(\mathbb{N}_0\) e dunque non può esserci alcun numero ...
1
11
21
1211
......
continuate la serie spiegando come funziona.
Premessa: è in questa sezione perche mi sembrava la piu adatta. Avvisatemi se andrebbe spostato.
Per esempio: sono di più tutti i numeri interi o i numeri diapari?
Essendo entrambi infiniti, io ho pensato che la soluzione fosse che i numeri dispari sono contenuti interamente nei numeri interi e non viceversa. Ma c'è un'altra soluzione?
Se invece prendessi questo problema: In $RR$ sono di più i numeri $x$ tali che $x^2>x$ o tali che $x^2<x$?
O ...
Ho creato un problema di geometria, una dimostrazione relativamente semplice, che ovviamente sono in grado di risolvere. Ovviamente la mia non è una richiesta di aiuto, non sto obbligando nessuno a risolvere questo mio problema. Ho pensato che sarebbe interessante vedere altri modi per risolvere questo mio problema, vedere quello che richiede meno passaggi. Il problema in questione è il seguente:
Dato il segmento AB, sia M il punto medio di AB e sia t una semiretta di vertice M perpendicolare ...
Sulla linea di Gugo, posto anche io una pseudo-dimostrazione Ovviamente bisogna trovare l'errore..
"Tutti i triangoli sono isosceli"
Dimostrazione: Sia dato un triangolo qualunque ABC e sia D il punto medio di BC. Si denomini con E il punto di incontro della bisettrice di A e della perpendicolare in D al lato BC.
Da E si conducano la perpendicolare EF al lato AB e la perpendicolare EG al lato AC del triangolo. I due triangoli FEA e EGA sono congruenti, per il secondo criterio (elementi di ...
Questo è un problema logico-matematico molto particolare, probabilmente lo conoscete già. Dovete spiegarmi anche il perché della risposta.
Un cacciatore si muove di 1 km a sud, di 1 km a est e di 1 km a nord e si accorge di ritrovarsi nel punto di partenza, trova un orso e lo cattura. Di che colore è l'orso?
Dato il polinomio $x^8 - 15x^4 + 25$, come si può scomporre? Io ho individuato solo un modo, ma in quali altri modi può essere possibile? Stessa domanda per il polinomio $x^6 - x^4 + 2 x^3 + 1$ e per il polinomio $x^8 + 64$.
Questo è un enigma che ho trovato sul numero 364 del 2012 di settimana sudoku. Questo enigma è uno dei giochi logici che si proponevano Russell e Wittgenstein durante alcuni dei loro incontri domenicali. Ecco quel che disse Russell al suo amico:
"La mia famiglia è molto numerosa e io ho tre nipoti: Tony, Jennifer e Michelle. Considera ora questi fatti:
1) Tra 10 anni l'età di Tony sarà il doppio dell'età che aveva Jennifer nell'anno in cui Michelle aveva un'età nove volte superiore a quella di ...
"Determinare nel modo più elementare possibile (e senza usare la tavola dei logaritmi) quale dei due numeri: $120^(100)$, $100^(120)$ sia maggiore dell'altro"
La mia soluzione è:
$120^(100)=2^(200)*3^(100)*10^(100)$
$100^(120)=10^(140)*10^(100)$
Faccio il rapporto fra le due, e opero in modo da capire se questo rapporto sia maggiore o minore di uno:
$(100^(120))/(120^(100))=(10^(140)*10^(100))/(2^(200)*3^(100)*10^(100))=(5^(140)*2^(140))/(2^(200)*3^(100))=5^(140)/(2^(60)*3^(100))$
Calcolo la radice decima di questo prodotto (la radice non modifica l'essere maggiore o minore di uno del ...
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo