Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Salve a tutti,
vorrei chiedervi se esiste un modo per combinare due progressioni di numeri senza aumentare il numero di variabili.
Forse con un esempio mi spiego meglio: ho le progressioni 3n e 3n+1 esiste un modo per avere la formula di una progressione non aggiungendo variabili ma che per ogni valore di n mi dia sia il numero 3n che 3n+1??
Mi sono posto questa domanda perché vorrei trovare una formula che mi dia la progressione 0,1,3,4,6,7,8,9,11,12 ecc.
e anche altre progressioni.
Sia $n$ un intero positivo. Determinare quante sono le permutazioni $(a_1,a_2,...,a_n)$ dell'insieme ${1,2,..,n}$ con la seguente proprietà:
$2(a_1+a_2+...+a_k)$ è multiplo di $k$ per ogni $k=1,2,..,n$
Premetto che il famoso libro ('Che cos'è la Matematica') sul quale ho chiesto consigli qualche giorno fa, è per me, straordinario!
Infatti nel giro di 15 ore ( L'ho aperto per la prima volta ieri sera verso le 11 come lettura prima di dormire e l'ho ripreso un'ora fa... ) sono riuscito a capire e a provare alcune cose che per me erano completamente sconosciute!
Beh, ho cominciato dall'inizio, dal principio di induzione...
Mai nessuno me ne aveva parlato, e per me era una sorta di mistero ...
Ecco un'altra costruzione facile e quindi adatta a chi sta iniziando. Questo esercizio è già stato svolto nel forum, ma non come costruzione geometrica.
3) In un piano sono dati una retta r e due punti L, M fuori di essa. Inoltre e`assegnata una lunghezza a. Determinare sulla retta r due punti H, K tali che il segmento HK abbia lunghezza a e sia minima la lunghezza della spezzata LHKM.
Consiglio di considerare prima il caso in cui L, M sono in semipiani diversi.
Sia \(ABCD\) un quadrato di lato \(16\). Su due lati consecutivi \(AB\) e \(BC\) si costruiscano, esternamente al quadrato, due triangoli equilateri di terzo vertice, rispettivamente, \(E\) ed \(F\).
Quanto vale l'area del triangolo \(BEF\)?
P.S.: Questo esercizio lo proposi l'anno scorso in un liceo scientifico, in preparazione ai giochi di Archimede!
Salve a tutti.Chiedo scusa,qualcuno potrebbe spiegarmi perchè in $n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$ ossia nel prodotto di tre numeri consecutivi,uno dei fattori è un multiplo di 3? Con i numeri molto facilmente riesco a convincermi di ciò, ma se dovessi dare una "dimostrazione",mi troverei in difficoltà...Vi ringrazio in anticipo!
Mi era stato chiesto qualche esercizio sulle costruzioni geometriche, ed eccone uno. Rivolgo però una preghiera ai più abili: se risolvete l'esercizio in pochi minuti, era evidentemente troppo facile per voi. In questo caso lasciate la precedenza a chi da poco si accosta a questi problemi e mandate la vostra risposta solo se non ce ne sono state altre in un tempo ragionevole (direi due o tre giorni) o se ce ne sono state ma diverse dalla vostra.
E' dato un circolo di raggio r. Determinare un ...
Salve ragazzi, oggi stavo aiutando un mio amico a fare qualche esercizio di un test per un concorso ed è uscito fuori questo problema: " Un'asta è ben attaccata sul fondo del mare e sporge dalla superficie dell'acqua di un po di centimetri. In particolare, in cima all'asta vi è attaccata una bandierina e questa si trova 10 cm sopra il pelo dell'acqua. Sapendo che quando tira vento e l'asta si piega, la bandierina tocca la superficie dell'acqua a una distanza di 40cm dalla veritcale, quanto ...
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, il perimetro e l'altezza CH misurano rispettivamente 3a ed a .
Calcolare la misura di ciascuno dei lati di ABC per via aritmetica, senza l'ausilio dell'algebra ( ovvero senza introdurre incognite e quindi senza risolvere equazioni).
N.B. Soluzioni difformi dalla consegna saranno inesorabilmente...cestinate !
1. Date tre rette nel piano, qual è il massimo numero di parti in cui esse dividono il piano?
2. Date quattro rette nel piano, qual è il massimo numero di parti in cui esse dividono il piano?
Allora, questa volta domande un po' più precise per avere consigli... avevo già chiesto consigli, ma in questo caso vanno in una direzione leggemente diversa
Ho provato a svolgere qualche esercizio della sns e ho trovato non poche difficoltà, anche perchè spesso, come ho sbirciato nelle soluzioni si utilizzano concetti che non ancora conosco...
Nel tempo libero oltre a fare qualche esercizio in più dal mio libro e ad andare un po' avanti, vorrei cimentarmi con qualcosa di più creativo, perchè ...
Il problema che propongo non proviene da gare, ma potrebbe rientrarvi perché ha una soluzione semplice ed elementare, puramente geometrica. Finora tutti quelli a cui l'ho proposto hanno dato soluzioni complicate o di altro tipo (o si sono arresi): sapete fare meglio?
Esternamente al triangolo ABC, rettangolo in C, è disegnato il quadrato BCDE. Costruire il triangolo conoscendo AB=a e l'area S di ABED. Il dato relativo all'area può essere interpretato intendendo che in un parallelogramma o un ...
Sul diametro $KN$ di un cerchio di raggio di $10$ cm si considerano i punti $L$ ed $M$ tali che $KL=2$ cm, $LM=3$ cm e $MN=15$ cm. A partire dai punti $S$ della semicirconferenza di destra si osservano gli archi situati sulla semicirconferenza di sinistra come mostrato in figura. Qual è la lunghezza di arco più grande che si può osservare? Come va preso il punto $S$ affinchè si ...
Un altro esercizietto di quelli vecchi (e quindi più facili ) dei test d'ammissione alla SNS.
Testo:
Dimostrare che, presi due numeri reali a e b, si ha sempre:
$a^4+b^4\gea^3b$
Dire quando si ha l’uguaglianza.
La mia soluzione, che apro al confronto perchè sono sicuro che c'era un modo più facile e veloce :
Sia $h = b-a$. L'espressione potrà essere riscritta come $a^4+(a+h)^4\gea^3(a+h)$.
Svolgendo le potenze si otterrà $a^4+3a^3h+6a^2h^2+ah^3+h^4\ge0$
Quindi,
$(a^2+h^2)^2 +ah(3a^2+h^2) +4a^2h^2 \ge 0$
Essendo una somma di ...
Con tutte queste monetine, la vita è diventata impossibile...
A volte porti con te un portamonete che sembra pieno, invece c'è poco e niente; altre volte sembra quasi vuoto, invece saltano fuori decine di euro!
E proprio così che mi è venuto in mente questo simpatico esercizio.
Esercizio:
Sappiamo tutti che esistono 8 diversi tagli di monetine: 1 cent, 2 cent, 5 cent, 10 cent, 20 cent, 50 cent, 1 euro e 2 euro.
1. Quali sono la somma più piccola \(s\) e la somma più grande \(S\) che si ...
Ciao ragazzi, ecco qui quelle che dovrebbero essere le soluzioni dei giochi di archimede di oggi, gara triennio, non sono le mie risposte ma delle risposte miste tra quelle di alcuni miei compagni e della nostra prof.
L'unico che è un po' ambiguo è quello della benzina (il 10) perchè si poteva intendere la benzina come la benzina che si va a comprare al distributore e il prodotto come la benzina intesa come materia prima e viceversa.
1C
2A
3D
4A
5C
6C
7D
8D
9A
10D nel caso in cui si intenda ...
Ci sono tre colonne di monete A,B,C ognuna contenente un certo numero di monete. Una mossa consiste nello scegliere due colonne, togliere una moneta da ciascuna delle due colonne e aggiungere una moneta sulla terza colonna. Dimostrare che se è possibile rimanere con una sola moneta in una sola colonna, allora si può stabilire sin dall'inizio a quale colonna appartiene.
Nel piano sono dati tre punti non allineati $A, B, C$, e la retta $r$ perpendicolare in A al segmento AB. Determinare gli eventuali punti X della retta r tali che: $A hatXB=B hatXC$
Questo problema è già stato discusso nel nostro forum ma direi che allora non si è percorsa la via migliore e quindi lo ripropongo.
Sulla cartina dell'Italia colleghiamo ciascun capoluogo di provincia con quello più vicino. Supponiamo che le distanze non siano mai uguali, qual è il massimo numero di cittadine con cui può essere collegata una città?
Oggi, venerdì 9 novembre, ci sono state le Qualificazione d'istituto dei GMM2013 per la scuola primaria, la secondaria di primo grado e il biennio della secondaria di secondo grado.
I quesiti in sè non erano particolarmente difficili, ma qualcuno nascondeva dei piccoli trabocchetti.
Se siete incerti sulle soluzioni date, potete postare il problema e vi aiuteremo ad arrivare alla soluzione.
Per chi vuole allenarsi per la seconda parte della gara, la Finale d'istituto GMM2013, che sarà il ...
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