Problemi calcolo infinitesimale
Premessa: è in questa sezione perche mi sembrava la piu adatta. Avvisatemi se andrebbe spostato.
Per esempio: sono di più tutti i numeri interi o i numeri diapari?
Essendo entrambi infiniti, io ho pensato che la soluzione fosse che i numeri dispari sono contenuti interamente nei numeri interi e non viceversa. Ma c'è un'altra soluzione?
Se invece prendessi questo problema: In $RR$ sono di più i numeri $x$ tali che $x^2>x$ o tali che $x^2
O anche sono di più, sempre in $RR$, i numeri $x$ tali che $1<=x<=2$ o quelli $x<1 V x>2$?
in questo caso sembra ovvio che siano i secondi, ma non riesco a dimostrarlo.
Per esempio: sono di più tutti i numeri interi o i numeri diapari?
Essendo entrambi infiniti, io ho pensato che la soluzione fosse che i numeri dispari sono contenuti interamente nei numeri interi e non viceversa. Ma c'è un'altra soluzione?
Se invece prendessi questo problema: In $RR$ sono di più i numeri $x$ tali che $x^2>x$ o tali che $x^2
O anche sono di più, sempre in $RR$, i numeri $x$ tali che $1<=x<=2$ o quelli $x<1 V x>2$?
in questo caso sembra ovvio che siano i secondi, ma non riesco a dimostrarlo.
Risposte
Mi hanno sempre affascinato tutte queste domande: esse hanno trovato risposta - in blocco - nel corso di logica matematica.
C'è un assioma, non mi ricordo quale, che dice che "due insiemi hanno gli stessi elementi se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca tra loro". Per insiemi finiti ci si fida facilmente ma per insiemi infiniti i grattacapi non mancano.
Considera l'insieme degli interi positivi (chiamiamolo $A$) e quello degli interi positivi pari (per i dispari non cambia), chiamiamolo $B$.
Ora, considerando la funzione da $A$ a $B$ $n \mapsto 2n$ si può verificare che
- è iniettiva: a due interi positivi differenti corrispondono differenti pari;
- è suriettiva: dato un numero pari esiste sempre un intero a cui lo si fa corrispondere (nel nostro caso la "metà"
).
ergo... è biunivoca.
Per l'assioma citato di cui non ricordo il nome segue che la cardinalità degli interi positivi (o dei naturali, basta fare un piccolo aggiustamento per racchiudere lo zero, invece di $n \mapsto 2n$ prendere $n \mapsto 2n+2$), è uguale a quella dei pari.
Si possono fare miliardi di ragionamenti uguali arrivando a concludere che
- $\NN$, $\ZZ$, $\QQ$, $\NN^k$... hanno la stessa cardinalità che si indica con $\aleph_0$ e sono detti "numerabili" o "di cardinalità numerabile" (ricordo agli esperti che "numerabile" in sé vuol dire "in corrispondenza biunivoca con $\NN$");
- $[a,b]$ (con $a\ne b$ e $a,b$ reali), $]a,b[$ (idem per $a$ e $b$), $]a,b]$ (idem), $[a,b[$ (idem), $\RR$, $\CC$, $\RR^k$,... hanno la stessa cardinalità che si indica con $c$ e viene chiamata "potenza del continuo" o "cardinalità del continuo".
Si mostra, inoltre, che $c\ne \aleph_0$ e, in generale $c>\aleph_0$ e, con lo stesso teorema (o con un corollario), che $c=2^(\aleph_0)$.
Ora aggiungo 2 importanti precisazioni.
1.
Ho scritto un post "da bar", cioè pensa noi due a prendere un caffè con la gazzetta dello sport in mano e mi domandi la questione delle cardinalità. In pratica l'ho detta parecchio imprecisa e terra terra.
La questione è molto pesante e astratta e andrebbe approfondita parecchio, altro che un post!
2.
Non so se fai le superiori o l'università: se fai le superiori non preoccuparti se non capirai niente.
C'è un assioma, non mi ricordo quale, che dice che "due insiemi hanno gli stessi elementi se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca tra loro". Per insiemi finiti ci si fida facilmente ma per insiemi infiniti i grattacapi non mancano.
Considera l'insieme degli interi positivi (chiamiamolo $A$) e quello degli interi positivi pari (per i dispari non cambia), chiamiamolo $B$.
Ora, considerando la funzione da $A$ a $B$ $n \mapsto 2n$ si può verificare che
- è iniettiva: a due interi positivi differenti corrispondono differenti pari;
- è suriettiva: dato un numero pari esiste sempre un intero a cui lo si fa corrispondere (nel nostro caso la "metà"
).ergo... è biunivoca.
Per l'assioma citato di cui non ricordo il nome segue che la cardinalità degli interi positivi (o dei naturali, basta fare un piccolo aggiustamento per racchiudere lo zero, invece di $n \mapsto 2n$ prendere $n \mapsto 2n+2$), è uguale a quella dei pari.
Si possono fare miliardi di ragionamenti uguali arrivando a concludere che
- $\NN$, $\ZZ$, $\QQ$, $\NN^k$... hanno la stessa cardinalità che si indica con $\aleph_0$ e sono detti "numerabili" o "di cardinalità numerabile" (ricordo agli esperti che "numerabile" in sé vuol dire "in corrispondenza biunivoca con $\NN$");
- $[a,b]$ (con $a\ne b$ e $a,b$ reali), $]a,b[$ (idem per $a$ e $b$), $]a,b]$ (idem), $[a,b[$ (idem), $\RR$, $\CC$, $\RR^k$,... hanno la stessa cardinalità che si indica con $c$ e viene chiamata "potenza del continuo" o "cardinalità del continuo".
Si mostra, inoltre, che $c\ne \aleph_0$ e, in generale $c>\aleph_0$ e, con lo stesso teorema (o con un corollario), che $c=2^(\aleph_0)$.
Ora aggiungo 2 importanti precisazioni.
1.
Ho scritto un post "da bar", cioè pensa noi due a prendere un caffè con la gazzetta dello sport in mano e mi domandi la questione delle cardinalità. In pratica l'ho detta parecchio imprecisa e terra terra.
La questione è molto pesante e astratta e andrebbe approfondita parecchio, altro che un post!
2.
Non so se fai le superiori o l'università: se fai le superiori non preoccuparti se non capirai niente.
Ciao. Intanto grazie.
Faccio la quarta superiore e devo dire che prima di capirci qualcosa ho dovuto leggere il messaggio almeno due volte.
Credo di aver capito la questione della cardinalità equivalente (es: tra $NN$ ed $N^k$), l'unica cosa che non mi è chiara è perchè $c=2^(N0)$ ma da quanto ho capito non è dimostrabile...
Un ultima cosa: il mio ragionamento sull'insieme dei numeri pari($A$) che è contenuto completamente nell'insieme degli interi ($N$). Dato che $A!=N$ io deducevo che $|A|<|N|$
Faccio la quarta superiore e devo dire che prima di capirci qualcosa ho dovuto leggere il messaggio almeno due volte.
Credo di aver capito la questione della cardinalità equivalente (es: tra $NN$ ed $N^k$), l'unica cosa che non mi è chiara è perchè $c=2^(N0)$ ma da quanto ho capito non è dimostrabile...
Un ultima cosa: il mio ragionamento sull'insieme dei numeri pari($A$) che è contenuto completamente nell'insieme degli interi ($N$). Dato che $A!=N$ io deducevo che $|A|<|N|$
"kobeilprofeta":
Faccio la quarta superiore e devo dire che prima di capirci qualcosa ho dovuto leggere il messaggio almeno due volte.
Mi spiace allora di aver creato problemi: non sapevo che scuola facessi e ho cercato comunque di rendere la questione "masticabile".
"kobeilprofeta":
Credo di aver capito la questione della cardinalità equivalente (es: tra $NN$ ed $N^k$), l'unica cosa che non mi è chiara è perchè $c=2^(N0)$ ma da quanto ho capito non è dimostrabile...
In generale l'ingrediente fondamentale è l'astrattismo che si acquisisce all'università.
Alle superiori io ero convinto - ed è una cosa logica - che $\ZZ$ avesse il doppio (più uno o meno uno a seconda se si conti o meno lo zero nei naturali) degli elementi di $\NN$.
Quello che dici è tutto dimostrabile, solo che non so quanto capiresti se ti dessi la dimostrazione o se te la rendessi più semplice. Non lo dico per lavarmene le mani o per smontare le conoscenze altrui o altri motivi ignobili: la dimostrazione c'è ma occorrono conoscenze ulteriori e una mentalità differente.
Il brutto è che si tratta di una parte di matematica "non difficile" (ragazzi, robe come analisi funzionale o geometria differenziale sono aramaico in confronto), ma comunque parecchio astratta che per un ragazzo abituato a funzioni e sistemi risulta qualcosa di parecchio inusuale.
Ci si inizia a sbattere la testa in quinto liceo (o in quarto, non ricordo) per quanto riguarda i limiti e il $+-\infty$, ma sono cose che alla fine alle superiori si fanno senza apprezzarle. Cioè - e non è una critica perché "è logico" che sia così - dire $1/x$ tende a +infinito (per $x->0^+$) è una cosa che alle superiori si impara come nozione e si considera valida senza andare ad indagare.
In realtà, invece, l'infinito - come quantità - non esiste e la nozione di limite è molto più elevata artisticamente rispetto a quella frasetta $1/x$ tende a +infinito. Il limite, in sé, è un comportamento, uno studio di un andamento un ... non so come dirlo che riguarda la natura stessa della funzione nelle vicinanze di un punto o nella crescita esagerata.
Senza andare tanto oltre, posso dirti la seguente cosa per dare l'idea.
Supponi che l'infinito sia una quantità: puoi pensare che prima o poi - se inizi a contare - la raggiungi.
Ok 0,1,2,3,4,...,100,...,1000,...., $10^100$,...$10^(10^(10^10))$...
Si arriva mai? no!
La risposta sorprendente è questa. Qual è il numero più grande che riesci a immaginare? $10^(10^(\text{...}^10))$
Bene, puoi aggiungere 1 e ottenere un numero ancora più grande: e questo vale sempre!
Non solo: la maggior parte dei numeri sono superiori a quello che hai pensato: e questo vale sempre!
Entrambe si spiegano - con uno sforzo mentale - pensando alle seguenti cose:
- i naturali sono infiniti quindi per quanto possa essere un numero gigantesco, aggiungi 1 e ottieni un numero ancora più grande ("1" è un esempio, posso anche dirti "aggiungi 10" o "moltiplicalo per 10" o quello che vuoi);
- i naturali sono infiniti quindi per quanto possa essere un numero gigantesco, sei infinitamente lontano dall'infinito...
L'infinito e le cardinalità sono cose che hanno sempre creato grattacapi.
Posso citarti Dante e "il doppiar delgli scacchi" (Paradiso se non erro, ma non chiedetemi il canto) il cui senso vuol dire "una quantità assurda".
Posso citarti Cantor che ha creato tutto quel sistema di cardinalità e che è finito in manicomio perché i suoi contemporanei lo prendevano a pesci in faccia...
Oggi siamo figli della relatività e abbiamo nel DNA conoscenze di base maggiori di quelli dei nostri avi: i paradossi di Zenone oggi sono sciocchezze ma uno nato più di cento anni fa lo facevano ancora andare in tilt!
È vero che le mie conoscenze sono molto limitate. Nonostante ció , credo comunque di sapere nell'ambito della matematica molte più cose della maggior parte dei miei coetanei. Scrivo spesso su questo forum perche, essendo molto lenti col programma a scuola (non abbiamo ancora nominato i limiti), mi ritrovo a studiare molto da solo. Lo faccio pre passione (s'intenda) e dopo aver praticamente finito il programma di quinta, ho iniziato ha studiare un po' di statistica e probabilità usando un pdf preso in una discussione qua (http://www.mat.uniroma1.it/people/nappo ... o-2005.pdf). Quindi un po' di concetti li ho (ovviamente un nulla in confronto a voi )
Dopo averti annoiato con questa premessa sulle mie conoscenze matematiche, arrivo al punto:
Provo a dare una specie di dimostrazione su |$NN$| = |$RR$| (se ti va dimmi se e cosa sbaglio).
A ragionamento penso che se al posto di prendere la divisione sullo $0$ cioè avendo l'insieme $A$ dei numeri $x>0$ e l'insieme $B$ dei numeri $x<0$ si prendesse come riferimento un $M$ arbitrariamente grande si avrebbe l'insieme $F$ dei numeri $x>M$.
Se, come premessa si avesse $|A|=(|QQ|)/2$, allora si avrebbe anche, visto che i numeri che precedono M, sono uguali a quelli che lo seguono, $|F|=(|QQ|)/2$ dq cui $|F|=|A|$, ma ciò andrebbe contro alla premessa (cioè che la cardinalità di un insieme è minore di quella in cui esso è contenuto, essendo $F$ contenuto in $A$).
PS) per te troverò difficoltà ad affrontare l'università di matematica presentandomi con delle basi scarse?
E non per farmi i fatti tuoi, tu prendevi 30 (o quasi) in analisi? (è una questione psicologica perchè sapere che gente come te non prendeva questi voti, non mi darebbe un gran che di fiducia...)
Grazie
)Dopo averti annoiato con questa premessa sulle mie conoscenze matematiche, arrivo al punto:
Provo a dare una specie di dimostrazione su |$NN$| = |$RR$| (se ti va dimmi se e cosa sbaglio).
A ragionamento penso che se al posto di prendere la divisione sullo $0$ cioè avendo l'insieme $A$ dei numeri $x>0$ e l'insieme $B$ dei numeri $x<0$ si prendesse come riferimento un $M$ arbitrariamente grande si avrebbe l'insieme $F$ dei numeri $x>M$.
Se, come premessa si avesse $|A|=(|QQ|)/2$, allora si avrebbe anche, visto che i numeri che precedono M, sono uguali a quelli che lo seguono, $|F|=(|QQ|)/2$ dq cui $|F|=|A|$, ma ciò andrebbe contro alla premessa (cioè che la cardinalità di un insieme è minore di quella in cui esso è contenuto, essendo $F$ contenuto in $A$).
PS) per te troverò difficoltà ad affrontare l'università di matematica presentandomi con delle basi scarse?
E non per farmi i fatti tuoi, tu prendevi 30 (o quasi) in analisi? (è una questione psicologica perchè sapere che gente come te non prendeva questi voti, non mi darebbe un gran che di fiducia...)
Grazie
"kobeilprofeta":
Provo a dare una specie di dimostrazione su |$NN$| = |$RR$| (se ti va dimmi se e cosa sbaglio).
mmm..., ho come il sospetto che sia sbagliata.
Tieni conto del fatto che, per insiemi infiniti, non è vero che \(A\subset B\) implichi \(|A| < |B|\) (le due cardinalità possono essere tranquillamente uguali, come succede ad esempio per \(\mathbb{N}\) e \(\mathbb{Q}\)).
"kobeilprofeta":
È vero che le mie conoscenze sono molto limitate. Nonostante ció , credo comunque di sapere nell'ambito della matematica molte più cose della maggior parte dei miei coetanei. [...] Quindi un po' di concetti li ho (ovviamente un nulla in confronto a voi
Meglio così.
Sia ben chiaro che non mi è mai passato per la mente di criticare le tue conoscenze: ho solo annotato che - generalmente - l'astrattismo si acquisisce più in là delle superiori. Se hai conoscenze avanzate rispetto agli altri, meglio così!
"Rigel":
Tieni conto del fatto che, per insiemi infiniti, non è vero che \( A\subset B \) implichi \( |A| < |B| \) (le due cardinalità possono essere tranquillamente uguali, come succede ad esempio per \( \mathbb{N} \) e \( \mathbb{Q} \)).
Proprio quello che dicevo io nei post precedenti.
E continuo a ripetere che non è una critica, anche perché, ammesso che ci sia qualcuno che mi dice che alle superiori ha conoscenza/familiarità con gli assiomi ZF, comunque non è detto che abbia l'astrattismo per capire certe dimostrazioni.
L'esempio me lo metto in prima persona: la dimostrazione del fatto che i naturali e i pari abbiano la stessa cardinalità (o i naturali e gli interi) non mi avrebbe mai convinto fino a 2-3 anni fa.
No. Non preoccuparti. Ti ho solo detto piu o meno cosa so per darti un'idea del linguaggio da usare.
In ogni caso, per conclusione:
In $NN$ $|P|$ (numeri pari) $=|N|$ (numeri interi)
In $RR$ $|(x^2)>x| = |(x^2)2|$.
Ps: scusa ma prima non mi hai risposto qua (se vuoi):
In ogni caso, per conclusione:
In $NN$ $|P|$ (numeri pari) $=|N|$ (numeri interi)
In $RR$ $|(x^2)>x| = |(x^2)
Ps: scusa ma prima non mi hai risposto qua (se vuoi):
"kobeilprofeta":
per te troverò difficoltà ad affrontare l'università di matematica presentandomi con delle basi scarse?
E non per farmi i fatti tuoi, tu prendevi 30 (o quasi) in analisi? (è una questione psicologica perchè sapere che gente come te non prendeva questi voti, non mi darebbe un gran che di fiducia...)
"kobeilprofeta":
Ps: scusa ma prima non mi hai risposto qua (se vuoi):
Trattasi di svista, ma rimedio subito
."kobeilprofeta":
per te troverò difficoltà ad affrontare l'università di matematica presentandomi con delle basi scarse?
E non per farmi i fatti tuoi, tu prendevi 30 (o quasi) in analisi? (è una questione psicologica perchè sapere che gente come te non prendeva questi voti, non mi darebbe un gran che di fiducia...)
Sono sempre dell'idea - ovviamente può smentirmi chiunque - che la facoltà di matematica può affrontarla chiunque non odi la materia (e, ovviamente, sia in possesso di conoscenze di scuola superiore).
Conosco persone provenienti da ITIS e istituti professionali che si sono laureate e hanno portato a termine il loro percorso di studi. Certo, per loro le difficoltà non sono certo semplici: trattasi di persone che prima dell'università non sapevano dell'esistenza delle funzioni trigonometriche e degli integrali.
Personalmente, lo scientifico ha fatto in modo che gran parte del primo anno si trattasse di un ripasso.
[size=85]Ad analisi I ho preso 30 e lode allo scritto e 21 all'orale per un totale di 26... che figura di m****
Per il resto, analisi I a parte mi pare che la media dei voti di tutte le analisi (I,II, III, funzionale e superiore) sia 27 e qualcosa...[/size]
Però il voto è un indicatore e non è la misura delle conoscenze: può capitare che se studi poco ti chiede esattamente quello che sai così come se studi tanto ti chiede esattamente quel poco che non sai (ad Analisi I è stato così... per me).
Oltre al fatto che il voto non conta sono certo di avere tantissime cose da imparare e lacune da colmare: non finirò mai di smaltire il senso di inferiorità che continuo a provare leggendo alcune risposte del forum.
@James.
Avevo pensato di consigliarti in privato di provare l'ingresso al tfa ordinario
(tieni conto nel caso che non sarà transitorio come quest'anno e,dunque,risulterà un pò più duro dell'attuale,
tanto nella fase selettiva quanto di svolgimento che in quella,capitale per l'importanza che può rivestire il voto d'abilitazione nella solitamente lunga fase iniziale della carriera d'un Docente,
di valutazione finale dell'abilitando..
sebbene sia lecito,ma non troppo ,pensare verrà meglio organizzato in tutte le sue fasi di quello odierno che,
per far finta di voler concedere il beneficio del dubbio a chi l'ha partorito e malgestito,diciamo eufemisticamente ha pagato tutti gli scotti degli start up..)
che,se lorsignori vorranno,dovrebbe svolgersi per i prossimi tre A.A;
ma non son certo che il superarlo ti sistemerà questa storia dell'autostima,
ed allora m'auguro tu voglia provare pure col dottorato
(anche se,e quì son serio,mi sembra tu abbia principalmente tanti aspetti giusti della personalità per diventare ottimo insegnante di Scuola Media Superiore,
e pochi da migliorare come d'altronde chiunque..):
se riesci ed entri,è chiaro,
ti verrò a cercar di persona fino in capo al mondo,
se dopo che avrai discusso la tesi di dottorato leggerò che pensi d'esser inferiore a chi dimostrerà l'ipotesi di Riemann !
@Kobe.
Prendi l'insieme $A={1,2,3}$:
riesci a costruire un suo sottoinsieme,che non coincida con esso,
che sia in corrispondenza biiettiva con $A$?
No,dici?
Vero,perché ogni volta che cerchi di costruire un tal sottoinsieme resta sempre fuori,"ovviamente",
almeno un elemento di $A$ dall'eventuale corrispondenza biettiva che t'avevo chiesto di trovare,
la quale non può allora esistere:
capito perché,essendo questo discorso indipendente dal fatto che $|A|=3$ o $|A|=(10)^(10^n)$,
s'è scelto di definire finito ogni insieme che non possa esser messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio?
E di $NN$ che mi dici,alla luce della prima risposta ?
Saluti dal web.
Avevo pensato di consigliarti in privato di provare l'ingresso al tfa ordinario
(tieni conto nel caso che non sarà transitorio come quest'anno e,dunque,risulterà un pò più duro dell'attuale,
tanto nella fase selettiva quanto di svolgimento che in quella,capitale per l'importanza che può rivestire il voto d'abilitazione nella solitamente lunga fase iniziale della carriera d'un Docente,
di valutazione finale dell'abilitando..
sebbene sia lecito,ma non troppo
,pensare verrà meglio organizzato in tutte le sue fasi di quello odierno che,per far finta di voler concedere il beneficio del dubbio a chi l'ha partorito e malgestito,diciamo eufemisticamente ha pagato tutti gli scotti degli start up..)
che,se lorsignori vorranno,dovrebbe svolgersi per i prossimi tre A.A;
ma non son certo che il superarlo ti sistemerà questa storia dell'autostima,
ed allora m'auguro tu voglia provare pure col dottorato
(anche se,e quì son serio,mi sembra tu abbia principalmente tanti aspetti giusti della personalità per diventare ottimo insegnante di Scuola Media Superiore,
e pochi da migliorare come d'altronde chiunque..):
se riesci ed entri,è chiaro,
ti verrò a cercar di persona fino in capo al mondo,
se dopo che avrai discusso la tesi di dottorato leggerò che pensi d'esser inferiore a chi dimostrerà l'ipotesi di Riemann
!@Kobe.
Prendi l'insieme $A={1,2,3}$:
riesci a costruire un suo sottoinsieme,che non coincida con esso,
che sia in corrispondenza biiettiva con $A$?
No,dici?
Vero,perché ogni volta che cerchi di costruire un tal sottoinsieme resta sempre fuori,"ovviamente",
almeno un elemento di $A$ dall'eventuale corrispondenza biettiva che t'avevo chiesto di trovare,
la quale non può allora esistere:
capito perché,essendo questo discorso indipendente dal fatto che $|A|=3$ o $|A|=(10)^(10^n)$,
s'è scelto di definire finito ogni insieme che non possa esser messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio?
E di $NN$ che mi dici,alla luce della prima risposta
?Saluti dal web.
Aggiungo una cosa,che ritengo di dover porre all'attenzione senza editare il precedente messaggio;
forse lo faccio perché non ancora ripreso trauma del mio prof d'Analisi che,al primo ricevimento universitario della mia vita,
mi disse con la massima disinvoltura,mentre pendevo dalle sue labbra,che era sorpreso di certe ottime osservazioni da parte d'un allievo appena(orgogliosamente..) diplomatosi all'I.T.I.S:
fino a pochi anni fà
(ed era la mia felicità quando,prima della geniale "riforma" Gelmini,
gli itp insegnavano pure nei laboratori di Matematica del triennio per due delle sei o sette ore ad essa allora dedicata..),
l'argomento conclusivo del quinto anno in molti indirizzi dei tecnici e per i ragionieri programmatori erano le EDO non omogenee a coefficienti costanti
(ed addirittura,ma non ci s'arrivava per la verità quasi mai,le serie di Fourier per gli informatici..) ,
e posso assicurarvi che un pò d'ottica "giusta" te la davano!
Saluti dal web.
forse lo faccio perché non ancora ripreso trauma del mio prof d'Analisi che,al primo ricevimento universitario della mia vita,
mi disse con la massima disinvoltura,mentre pendevo dalle sue labbra,che era sorpreso di certe ottime osservazioni da parte d'un allievo appena(orgogliosamente..) diplomatosi all'I.T.I.S:
fino a pochi anni fà
(ed era la mia felicità quando,prima della geniale "riforma" Gelmini,
gli itp insegnavano pure nei laboratori di Matematica del triennio per due delle sei o sette ore ad essa allora dedicata..),
l'argomento conclusivo del quinto anno in molti indirizzi dei tecnici e per i ragionieri programmatori erano le EDO non omogenee a coefficienti costanti
(ed addirittura,ma non ci s'arrivava per la verità quasi mai,le serie di Fourier per gli informatici..)
,e posso assicurarvi che un pò d'ottica "giusta" te la davano!
Saluti dal web.
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