Polinomi ciclotomici
E' poco più che un giochino...
Definisco in maniera induttiva l'\(\displaystyle n \)-esimo polinomio ciclotomico nella maniera che segue: \[\displaystyle \Phi_{1}(x)=x-1 \] e \[\displaystyle \Phi_{n}(x) = \frac{x^n -1}{\prod_{d | n, \; d \ne n} \Phi_{d} (x)} \]
Prove it! Se \(\displaystyle n=p^2 \) con \(\displaystyle p \) primo, allora \[\displaystyle \Phi_{p^2}(x)=1+x^p + \dots + x^{p(p-1)} \]
Definisco in maniera induttiva l'\(\displaystyle n \)-esimo polinomio ciclotomico nella maniera che segue: \[\displaystyle \Phi_{1}(x)=x-1 \] e \[\displaystyle \Phi_{n}(x) = \frac{x^n -1}{\prod_{d | n, \; d \ne n} \Phi_{d} (x)} \]
Prove it! Se \(\displaystyle n=p^2 \) con \(\displaystyle p \) primo, allora \[\displaystyle \Phi_{p^2}(x)=1+x^p + \dots + x^{p(p-1)} \]
Risposte
I divisori di $p^2$, diversi da $p^2$, sono solo $1$ e $p$. L'unico divisore di $p$, diverso da $p$, è $1$. Pertanto applicando la definizione ho:
$Phi_{p^2}(x)=(x^{p^2}-1)/((x-1)Phi_p(x)\)=(x^{p^2}-1)/((x-1)(x^p-1)/(x-1))=((x^p)^p-1)/(x^p-1)$
Posto $x^p=u $, si ha da calcolare la divisione $(u^p-1):(u-1)$ che ha come quoziente $u^{p-1}+u^{p-2}+...+u+1$
E ritornando alla $x$ si ha appunto :
$Phi_{p^2}(x)=(x^p)^{p-1}+(x^p)^{p-2}+...+(x^p)^1+1$
C.V.D.
$Phi_{p^2}(x)=(x^{p^2}-1)/((x-1)Phi_p(x)\)=(x^{p^2}-1)/((x-1)(x^p-1)/(x-1))=((x^p)^p-1)/(x^p-1)$
Posto $x^p=u $, si ha da calcolare la divisione $(u^p-1):(u-1)$ che ha come quoziente $u^{p-1}+u^{p-2}+...+u+1$
E ritornando alla $x$ si ha appunto :
$Phi_{p^2}(x)=(x^p)^{p-1}+(x^p)^{p-2}+...+(x^p)^1+1$
C.V.D.
Bravo.
Rilancio. Con la stessa notazione di sopra, dimostrare che se \(n>1\) è dispari allora \[\Phi_{2n}(x)=\Phi_{n}(-x)\]
Rilancio. Con la stessa notazione di sopra, dimostrare che se \(n>1\) è dispari allora \[\Phi_{2n}(x)=\Phi_{n}(-x)\]
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