SNS 1973 - Confronto fra numeri (Conferma soluzione)
"Determinare nel modo più elementare possibile (e senza usare la tavola dei logaritmi) quale dei due numeri: $120^(100)$, $100^(120)$ sia maggiore dell'altro"
La mia soluzione è:
$120^(100)=2^(200)*3^(100)*10^(100)$
$100^(120)=10^(140)*10^(100)$
Faccio il rapporto fra le due, e opero in modo da capire se questo rapporto sia maggiore o minore di uno:
$(100^(120))/(120^(100))=(10^(140)*10^(100))/(2^(200)*3^(100)*10^(100))=(5^(140)*2^(140))/(2^(200)*3^(100))=5^(140)/(2^(60)*3^(100))$
Calcolo la radice decima di questo prodotto (la radice non modifica l'essere maggiore o minore di uno del rapporto):
$5^(14)/(2^6*3^(10))=5^4/(2^6) * 5^(10)/(3^(10))$
$5^(10)/(3^(10))$ è sicuramente maggiore di uno, poiché $5^(10)>3^(10)$.
Per quanto riguarda l'altro rapporto, $5^4=625$ e $2^6=64$, cioè $5^4>2^6$.
Conseguentemente $5^4/(2^6) * 5^(10)/(3^(10))>1$, quindi $100^(120)>120^(100)$
E' questo il modo "più elementare possibile"?
Grazie mille.
La mia soluzione è:
$120^(100)=2^(200)*3^(100)*10^(100)$
$100^(120)=10^(140)*10^(100)$
Faccio il rapporto fra le due, e opero in modo da capire se questo rapporto sia maggiore o minore di uno:
$(100^(120))/(120^(100))=(10^(140)*10^(100))/(2^(200)*3^(100)*10^(100))=(5^(140)*2^(140))/(2^(200)*3^(100))=5^(140)/(2^(60)*3^(100))$
Calcolo la radice decima di questo prodotto (la radice non modifica l'essere maggiore o minore di uno del rapporto):
$5^(14)/(2^6*3^(10))=5^4/(2^6) * 5^(10)/(3^(10))$
$5^(10)/(3^(10))$ è sicuramente maggiore di uno, poiché $5^(10)>3^(10)$.
Per quanto riguarda l'altro rapporto, $5^4=625$ e $2^6=64$, cioè $5^4>2^6$.
Conseguentemente $5^4/(2^6) * 5^(10)/(3^(10))>1$, quindi $100^(120)>120^(100)$
E' questo il modo "più elementare possibile"?
Grazie mille.
Risposte
Secondo me sì, a parte il fatto che risparmiavi qualche passaggio scomponendo subito le basi in fattori primi.
Secondo me si fa molto più veloce così:
$120^100>=100^120$ ; $root(20)(120^100)>=root(20)(120^100)$;
$120^5>=100^6$; $120^5>=100^5*100$ ; $(120/100)^5>=100$
$1,2^5>=100$ ; $1,44*1,44*1,2>=10*5*2$ falso.
quindi $100^120>120^100$
cosa ne dite?
$120^100>=100^120$ ; $root(20)(120^100)>=root(20)(120^100)$;
$120^5>=100^6$; $120^5>=100^5*100$ ; $(120/100)^5>=100$
$1,2^5>=100$ ; $1,44*1,44*1,2>=10*5*2$ falso.
quindi $100^120>120^100$
cosa ne dite?
Ottimo; per dire se è più veloce bisognerebbe cronometrare. Suggerisco un miglioramento: $1,2^5<2^5=32<100$.
Grazie della risposta 
100^(120) ? 120 ^(100)
100^(100) * 100^(20) ? (100+20) ^(100)
dividiamo ambo i membri per 100^(100)
100^(20) ? (1+ 20/100)^(100)
100^(20) ? (1+ 1/5)^(100)
100 ? (1+ 1/5)^ (5)
Sfruttiamo ora , la seguente successione crescente limitata superiormente
a(n)= (1+1/n)^n
lim n----> \inf a(n) = e
(1+1)^1 < (1+ 1/2)^2 < (1+1/3)^3 < (1+ 1/4)^4 < (1+1/5)^5 < ................< e
e > (1+1/5)^5
100 > e
100 > e > (1+1/5)^5
Dunque possiamo concludere che
100 > (1+1/5)^5
e quindi
100^(120) > 120 ^(100)
100^(100) * 100^(20) ? (100+20) ^(100)
dividiamo ambo i membri per 100^(100)
100^(20) ? (1+ 20/100)^(100)
100^(20) ? (1+ 1/5)^(100)
100 ? (1+ 1/5)^ (5)
Sfruttiamo ora , la seguente successione crescente limitata superiormente
a(n)= (1+1/n)^n
lim n----> \inf a(n) = e
(1+1)^1 < (1+ 1/2)^2 < (1+1/3)^3 < (1+ 1/4)^4 < (1+1/5)^5 < ................< e
e > (1+1/5)^5
100 > e
100 > e > (1+1/5)^5
Dunque possiamo concludere che
100 > (1+1/5)^5
e quindi
100^(120) > 120 ^(100)
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