Esercizietto molto facile...

[Pianoth]

Tre insiemi di valori numerici formati solo da valori interi positivi tutti diversi, con almeno 3 elementi ciascuno $A = {a_1,a_2,\ldots,a_n}$, $B = {b_1,b_2,\ldots,b_n}$, $C = {c_1,c_2,\ldots,c_n}$ hanno tutti un massimo uguale $M$ e hanno tutti un numero di elementi $n$. Dimostrare che
[size=110]\[\displaystyle 3Mn^2>{2 \over n}\sum_{i=1}^n (a_i+b_i+c_i)+{4 \over n}\sum_{i=2}^n (a_i+b_i+c_i)+{6 \over n}\sum_{i=3}^n (a_i+b_i+c_i)+\ldots + 2\sum_{i=n}^n (a_i+b_i+c_i)-3Mn\][/size]

Hint: È talmente facile che non c'è bisogno di hint.

[robbstark1]

Ci provo:

Io direi che i termini con gli indici più alti sono quelli che compaiono in tutte le sommatorie, quindi il secondo termine è massimizzato se $a_n = b_n = c_n = M$, $a_{n-1} = b_{n-1} = c_{n-1} = M-1$, ..., $a_1 = b_1 = c_1 = M-n+1$.
Dunque portando l'ultimo addendo a primo membro, sostituendo le condizioni di sopra e dividendo per 2:
$3M(n(n+1))/2 > (3M)/n (1+2+...+n) + 3(M-1)/n (1+2+...+(n-1)) + ... + 3 (M-n+1)/n$
$M(n(n+1))/2 > M/n (n(n+1))/2 + (M-1)/n ((n-1)n)/2 + ... + (M-n+1)/n 2/2$
$M(n(n+1)) > M/n n(n+1) + (M-1)/n (n-1)n + ... + (M-n+1)/n 2$
Il secondo membro è dato da $n$ addendi, di cui il più grande è $M(n+1)$, da cui la conclusione è ovvia.