Trigonometria senza la trigonometria

giammaria2
I triangoli $ABC, DEF$ sono rettangoli in $A$ e $D$ ed hanno $hatC=2hatF$ (alcuni dei sei punti possono coincidere). Dimostrare che, posto $t=(DE)/(DF)$ e $x=(AB)/(AC)$, vale la formula
$x=(2t)/(1-t^2)$

Chi ha studiato la trigonometria riconosce subito la formula di duplicazione della tangente; la sfida però è proprio dimostrarla senza la trigonometria e limitatamente a quel caso particolare. Io ne ho dato due dimostrazioni, ma entrambe poco eleganti; spero che qualcuno ne dia una migliore.

Risposte
Pachisi
Ci provo.


giammaria2
Sì; in sostanza è una delle mie soluzioni.

Chi trova l'altra soluzione o, meglio ancora, ne dà una terza?

marco9551

giammaria2
Bravo: è una terza soluzione, anche se un po' lunghetta.
Per gli angoli preferirei la notazione abituale: $hatE$ si ottiene con hatE e $DhatEK$ si ottiene con DhatEK o, se ti è più chiaro, con D hat E K.

marco9551
Mi sono reso conto che si può arrivare più in fretta alla soluzione seguendo questa strada.

Erasmus_First
"giammaria":
I triangoli $ABC, DEF$ sono rettangoli in $A$ e $D$ ed hanno $hatC=2hatF$ (alcuni dei sei punti possono coincidere). Dimostrare che, posto $t=(DE)/(DF)$ e $x=(AB)/(AC)$, vale la formula
$x=(2t)/(1-t^2)$

Chi ha studiato la trigonometria riconosce subito la formula di duplicazione della tangente; la sfida però è proprio dimostrarla senza la trigonometria e limitatamente a quel caso particolare. Io ne ho dato due dimostrazioni, ma entrambe poco eleganti; spero che qualcuno ne dia una migliore.

Il problema equivale a trovare la formula di duplicazione della tangente senza passare per le formule di duplicazione del seno e del coseno.

[Non ho letto tutto quello che hanno già scritto gli altri.
Una facile soluzione del quiz si ha sfruttando il teorema della costanza dell'angolo alla circonferenza inscritto in certo arco.

Ho fatto una figura (con il testo della dimostrazione che intendo) ... simboleggiando il problema a modo mio.]
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––> Soluzione del quiz (Figura_testo.png

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Erasmus_First
Sorry!
Avevo commesso un ... "errore di sbaglio"!
Avevo scritto (ad un certo punto): «Da qui, eliminando HB ...»
Ma la proposizione giusta doveva essere: «Da qui, eliminando GH ...»

[In effetti, HB è una costante nota, mentre le incognite (di due equazioni) sono GH e HC' ma solo la seconda interessa per risolvere il quiz].

Ho corretto il testo e sostituito la relativa nuova immagine.
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