Simmetria in un triangolo

[Pachisi]

Sia $O$ un punto dentro un triangolo $ABC$. Siano $A_1,B_1,C_1$ i punti simmetrici di $O$ rispetto ai punti medi dei lati $BC,AC,AB$. Dimostrare che i triangoli $ABC$ e $A_1B_1C_1$ sono congruenti e che $A_1A$, $B_1B$ e $C_1C$ sono concorrenti.

[donald_zeka]

Siano $M$, $N$, $L$ i punti medi rispettivamente di $BC$, $AC$ e $AB$ e si traccino $NL$, $LM$ e $MN$, risulta per costruzione:

$ON=NB_1$; $OL=LC_1$; $OM=MA_1$

$NL$, $LM $e $MN$ pertanto bisecano $OA_1$, $OB_1$ e $OC_1$, per il teorema di Talete allora risulta:

$B_1C_1||LN||BC$ e $B_1C_1=2LN=BC$

Stesso ragionamento si fa con gli altri due lati. $A_1B_1C_1$ pertanto è conguente ad $ABC$ per il terzo criterio.

$ABC$ e $A_1B_1C_1$sono triangolo omotetici, esiste una omotetia di centro $X$ e rapporto $-1$ che manda ogni punto di $ABC$ in $A_1B_1C_1$, in tale punto concorrono pertanto $A A_1$, $BB_1$ e $C C_1$

[Pachisi]

Si, bravo (bella l'omotetia)
Per il secondo punto si poteva anche notare che, essendo $ABA_1B_1$ e $AC_1A_1C$ due parallelogrammi, la diagonale $A_1A$ passa per il punto medio della diagonale $B_1B$, così come $C_1C$. Allora $ A_1A $, $ B_1B $ e $ C_1C $ sono concorrenti.