Proiezioni sulle altezze

[Pachisi]

Sia $ABC$ un triangolo e siano $A_1, B_1, C_1$ le proiezioni di un punto interno $O$ sulle altezze ($A_1$ è la proiezione sull'altezza relativa a $BC$, e così via). Dimostrare che se $A_1A=B_1B=C_1C$, allora si ha $A_1A=B_1B=C_1C=2r$, dove $r$ è il raggio del cerchio inscritto in $ABC$.

[giammaria2]

Per i tre vertici traccio le parallele ai lati opposti, individuando il triangolo $DEF$, simile ad $ABC$ e suo doppio ($D$ è di fronte ad $A$, $E$ a $B$, $F$ a $C$). Siano $OH,OK$ le distanze di $O$ da $EF,DF$.
Le rette $BC,EF,A_1O$ sono parallele fra loro e perpendicolari ad $A A_1$ ed $OH$, quindi $AHOA_1$ è un rettangolo e ne consegue $OH=A A_1$.
Analogamente $OK=BB_1$ ed essendo $A A_1=BB_1$ ottengo $OH=OK$: perciò $O$, equidistante da $EF, DF$, sta sulla bisettrice di $hatF$.
Allo stesso modo, $O$ sta sulle bisettrici di $hatD$ ed $hatE$, quindi è l'incentro di $DEF$ e dista dai lati quanto il raggio del cerchio inscritto in esso, cioè $2r$ (per la similitudine detta all'inizio). Conclusione:
$A A_1=OH=2r$

[Pachisi]

Si, esatto