Triangolo Equilatero

[Pachisi]

Dimostrare che se $a+h_a=b+h_b=c+h_c$, allora il triangolo $ABC$ è equilatero.

(Nota: $h_a$ è l'altezza relativa al lato $a$, $h_b$ è l'altezza relativa al lato $b$, $h_c$ è l'altezza relativa al lato $c$).

[donald_zeka]

Premessa: Un lato di un triangolo non è mai uguale all'altezza relativa a uno degli altri due lati.

$a+h_a=b+h_b$
$ah_a=bh_b$

Ricaviamo a da entrambi:

$a=b+h_b-h_a$
$a=b(h_b)/(h_a)$

$b+h_b-h_a=b(h_b)/(h_a)$

$b(h_b-h_a)/h_a=h_b-h_a$

$b(h_b-h_a)=h_a(h_b-h_a)$

Dalla premessa segue che affinché l'uguaglianza sia verificata si deve necessariamente avere $h_b-h_a=0$. Ripetendo il procedimento per altri $2$ lati si arriva alla tesi.

[axpgn]

La tua premessa non vale per un triangolo rettangolo isoscele ...

Cordialmente, Alex

[donald_zeka]

Vero. Considerando il triangolo rettangolo come caso speciale la dimostrazione dovrebbe essere comunque valida.

[Pachisi]

Posto un'altra soluzione, se qualcuno fosse interessato.
Per assurdo, sia il triangolo $ABC$ non equilatero. Dunque, $a!=b$. Dunque, se indichiamo con $hatA$ l'angolo opposto $a$, $hatB$ l'angolo opposto $b$ e $hatC$ l'angolo opposto $c$, abbiamo $a+h_a=b+asinC$. Ossia, $(a-b)(1-sinC)=0$. Per ipotesi, $a!=b$, dunque $SinC=1$, ossia $hatC=90$. Allora, dovra` essere $a!=c$, e troviamo, in modo simile, $hatB=90$, che e` assurdo.

[donald_zeka]

@Pachisi Ho notato nei tuoi messaggi che dici spesso l'angolo "opposto $x$" per riferirti a un angolo che è "opposto a $x$", senza però mettere quella "a" in mezzo; forse lo fai per comodità ma quella definizione potrebbe facilmente essere fraintesa, infatti se dici "considero l'angolo opposto $x$", magari tu intendi l'angolo opposto a $x$, ma detta così può facilmente essere intesa come un angolo che tu chiami $x$, che teoricamente sarebbe l'interpretazione corretta.

[Pachisi]

Grazie, non ci avevo fatto caso.