Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Dimostrare che, per ogni $x, y, z >0$, si ha:
$x+y+z <= 2(x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y))$.
$root(3)(a-sqrt(a^2+1))+root(3)(a+sqrt(a^2+1))=1" "AAa in RR$.
Saluti dal web.
Sera spero qualcuno possa aiutarmi:
Potete spiegarmi in cosa consiste la sequenza dell'OEIS A129490: "Number of digits in the decimal expansion of the number of partitions of 2^n."?
http://oeis.org/A129490
$1, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 15, 22, 32, 47, 67, 97, 138, 197, 280, 398, 565, 801, 1134, 1607, 2275, 3219, 4555, 6445, 9118, 12898, 18243, 25803, 36494, 51615, 72998, 103238, 146005, 206486, 292020, 412982...$
Se potete anche farmi degli esempi, ve ne sarei grato
Grazie!
[size=100]«Dato un poligono regolare, quanto vale il prodotto delle distanze di un vertice da tutti gli altri?» [/size]
Si tratta di un vecchio quiz che suppongo sia già circolato qui in "Matematicamente".
Detti r il raggio del cerchio circoscritto ed n il numero di lati, la risposta è
$n·r^(n–1)$
(come si trova ... "sperimentalmente" provando per r = 1 ed n = 3, 4, 5, 6; e con opportuno programmino ad hoc anche per altri n ...a piacere).
Confesso, però, di non essere [per ora!] ...
Qual è la lunghezza minima di un laccio chiuso attraverso cui sia possibile far passare un tetraedro regolare di spigolo $l$?
Sia $ABCD$ un quadrilatero convesso di lati lunghi:
$AB = a$; $BC = b$; $CD = c$; $DA = d$.
a) Gli angoli ed i lati di $ABCD$ siano tali che il quadrilatero ammetta sia il cerchio inscritto che il cerchio circoscritto.
In tal caso, noti $a, b, c$ e $d$, calcolare l'area $S$, il raggio $R$ del cerchio circoscritto ed il raggio $r$ del cerchio inscritto.
b) Il ...
Sono decisamente vecchi, forse già messi, ma entrambi belli
1) Dimostrare che dati $n+3$ punti nel piano, i punti medi distinti dei segmenti che uniscono le coppie di questi punti sono almeno $2n+3$.
2) Dimostrare che dati $2n+3$ punti nel piano, senza quadrilateri inscrivibili e senza terne di punti allineati, è possibile tracciare una circonferenza passante per $3$ di questi punti in modo che ci siano $n$ punti dentro la ...
Vi propongo il seguente quesito.
Siano $p$,$q$ e $r$ numeri reali non-negativi tali che $p+q+r=1$. Dimostrare che $7(pq+qr+rp)<=2+9pqr$.
Il quadrati ABCD ( di lato lungo a) ha il lato AB fisso sulla retta l ( vedi fig.). Un altro quadrato EFGH ( di lato pure uguale ad a) ha il vertice F sulla retta l ed il vertice E mobile sul lato AD. Dal vertice G si tracci la perpendicolare ad l fino ad intersecare la retta CH in M e la retta l medesima nel punto N.
Si determini il valore massimo del segmento MN al variare di E sul segmento AD.
Ho trovato questo problema in rete e ho pensato di condividere, se a prima vista pare semplice, non sembra esserlo...
Si consideri un set di infiniti punti nel piano euclideo ${x_i|i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$. Questi punti sono tali che $d(x_i,x_j) in NN$ $AA i,j in NN$ con $d(*,*)$ la distanza Euclidea. Si dimostri che questi punti sono allineati, ossia giacciono tutti su una stessa retta.
Il mio unico pensiero era stato di scegliere la metrica discreta per $RR^2$ (non veniva ...
Trovare il valore massimo dell'espressione $x^2y-y^2x $ quando $ 0<=x<=1$, $0<=y<=1$.
Numer ieri notte ha preso in prestito del denaro dal salvadanaio di Linea. Purtroppo per lui Linea se n'è accorta e adesso pretende che le vengano restituiti tutti i soldi più gli interessi. E' disposta a rinunciare agli interessi se Numeri indovina la somma di tutti i valori $m$ per i quali è massima la quantità di quadrati perfetti nella successione
$a_0=m, a_(n+1)=a_n^5+487$. Che numero deve dire Numer?
Sia $P(x,y)$ il punto variabile sul segmento definito dal sistema misto:
\(\displaystyle \begin{cases}x>0\\y>0\\2x+3y-10=0 \end{cases} \)
Si calcoli, al variare di P, il massimo valore della funzione:
$z=x^3y^2$
P.S. Data la specifica collocazione del quesito, non sono consentiti riferimenti al calcolo infinitesimale ( niente derivate, insomma ).
Recentemente è stata notata una curiosa coincidenza. Tutti i più grandi mateninja della storia del villaggio della Retta hanno avuto per forza vitale un intero positivo $N$ tale che esistono $ a_1, ..., a_2007 $ interi positivi per cui $ a_1<a_2<...<a_2007 $ e $ N=1/(a_1)+2/(a_2)+...+2007/(a_2007) $ . Trovare la somma di tutti i valori di N di forza vitale (indicare le ultime 4 cifre se il risultato è maggiore di 9999.
Io ho trovato come successioni buone le progressioni aritmetiche che hanno ragione pari ...
ABC è un qualunque triangolo di cui sia H l'ortocentro. Si dimostri che i tre cerchi ( vedi fig.) $\gamma_1(A,B,H), \gamma_2(B,C,H), \gamma_3(C,A,H)$ hanno raggio uguale.
N.B. La scruttura $\gamma(X,Y,Z))$ indica il cerchio passante per i 3 punti $X,Y,Z$
Propongo un problema (probabilmente molto facile):
Sia $ ABCD $ un quadrato e $ P $ un punto sul cerchio inscritto nel quadrato. E` possibile che le distanze $ \overline{PA} $, $ \overline{PB} $, $ \overline{PC} $, $ \overline{PD} $ e $ \overline{AB} $ siano tutte intere?
VI propongo il seguente problema:
Determinare $ \sum_{n=1}^\infty n/2^n $.
Una funzione f : R → R verifica la proprietà che f(xy) = f(x)+f(y) per ogni x, y ∈ R. Se f(10) = 6
ed f(20) = 10, calcolare il valore di f(25).
ciao a tutti!
Un problema (per me) di difficle risoluzione
Trovare le soluzioni della equazione
$x^x-2^x-x^2=10$
banalmente vedo la soluzione x=3 ma l'ho trovata a caso, senza un metodo
Come risolvereste in maniera analitica?
Grazie!!
Sapendo che $1+1/4+1/9+1/16+1/25+...+ 1/{n^2}+... = \pi^2/6$ calcolare la probabilità che due numeri naturali presi a caso siano coprimi. Mi accontento anche di una giustificazione piuttosto intuitiva [size=50]Quindi si suppone che questa sezione vada bene.....[/size]
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