Problema da "solving mathematical problems"
Buongiorno, sono nuovo del forum e non so se questa sia la sezione giusta, nel caso scusatemi in anticipo.....
Il problema viene dal libro "solving mathematical problems" di Terence Tao, ed è questo:
Trova tutti i reali positivi x,y,z e tutti gli interi positivi p,q,r tali che:
$x^p+y^q=y^r+z^p=z^q+x^r$
Il fatto è che non ho proprio idea di come fare, ho solo trovato qualche soluione particolare per p=q=r per esempio, ma la soluzione generale mi sfugge, anche perchè questo esercizio è inserito in una sezione che tratta di geometria euclidea (non chiedetemi il perchè), per cui penso che ci sia qualche approccio geometrico o comunque non convenzionale.
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Il problema viene dal libro "solving mathematical problems" di Terence Tao, ed è questo:
Trova tutti i reali positivi x,y,z e tutti gli interi positivi p,q,r tali che:
$x^p+y^q=y^r+z^p=z^q+x^r$
Il fatto è che non ho proprio idea di come fare, ho solo trovato qualche soluione particolare per p=q=r per esempio, ma la soluzione generale mi sfugge, anche perchè questo esercizio è inserito in una sezione che tratta di geometria euclidea (non chiedetemi il perchè), per cui penso che ci sia qualche approccio geometrico o comunque non convenzionale.
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Risposte
Sei sicuro di aver riportato tutte le condizioni e senza errori? Te lo chiedo perché il risultato non mi convince.
Limitandosi al caso particolare $z=y$, ricavi facilmente
${(r=p),(x^p=2y^p-y^q):}$
Il secondo membro della seconda equazione deve essere positivo e ne deduci
$y^(p-q)>1/2$
Ci sono soluzioni anche per $p-q<=0$ ma anche trascurandole ottieni $y>1/root(p-q)2$, cioè infiniti valori di $y$; anche $p,q$ possono avere infiniti valori. Ad ognuno di questi corrisponde un valore accettabile di $x$.
Quindi, anche con la forte limitazione iniziale, tre lettere possono assumere infiniti valori: un po' troppo!
Limitandosi al caso particolare $z=y$, ricavi facilmente
${(r=p),(x^p=2y^p-y^q):}$
Il secondo membro della seconda equazione deve essere positivo e ne deduci
$y^(p-q)>1/2$
Ci sono soluzioni anche per $p-q<=0$ ma anche trascurandole ottieni $y>1/root(p-q)2$, cioè infiniti valori di $y$; anche $p,q$ possono avere infiniti valori. Ad ognuno di questi corrisponde un valore accettabile di $x$.
Quindi, anche con la forte limitazione iniziale, tre lettere possono assumere infiniti valori: un po' troppo!
Il testo è giusto, ma anche a me sembra strano questo risultato...
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