Relazione tra lati

[Pachisi]

Siano $\alpha$ e $\beta$ due angoli di un triangolo $ABC$, tali che $3\alpha+2\beta=180$. Dimostrare che $a^2+bc=c^2$.

(Nota: $\alpha$ e` l'angolo opposto $a$, $\beta$ e` angolo opposto $b$).

[dan952]

Dal leggendario teorema dei seni si ha:
$$\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(2\alpha+\beta)}$$
Schiaffo tutto dentro l'uguaglianza da dimostrare e ottengo:
$$a^2+a^2\frac{\sin(\beta)\sin(2\alpha+\beta)}{\sin(\alpha)}=^{?}a^2\frac{\sin^2(2\alpha+\beta)}{\sin^2(\alpha)}$$
Semplificando si ha:
$$\sin^2(\alpha)+\sin(\beta)\sin(2\alpha+\beta)=^{?}\sin^2(2\alpha+\beta)$$
Considerando che vale $\sin^2(\alpha)+\sin(\beta)\sin(2\alpha+\beta)-\sin^2(2\alpha+\beta)=-\sin(\alpha)\sin(3\alpha+2\beta(=180°))=0$, segue la tesi.

[Pachisi]

Nel secondo passaggio credo ci sia un errore di battitura: dovrebbe esserci un $sin^2(\alpha)$ al denominatore di $sin(\beta)sin(2\alpha+\beta)$.
Poi non mi trovo con l'ultimo passaggio
Assicuro, comunque, che è possibile farlo anche solo in sintetica.

[dan952]

"Pachisi":Nel secondo passaggio credo ci sia un errore di battitura: dovrebbe esserci un $sin^2(\alpha)$ al denominatore di $sin(\beta)sin(2\alpha+\beta)$.
Poi non mi trovo con l'ultimo passaggio
Assicuro, comunque, che è possibile farlo anche solo in sintetica.

Si errore di battitura.
Per quanto riguarda l'ultimo passaggio ci si arriva con un pò di calcoli.
Comunque in modo più sintetico pensavo al teorema dei coseni (o di Carnot ) però sinceramente non ho ci ho perso molto tempo.
Scusa per il ritardo non ho potuto risponderti prima per cause di forza maggiore.

[Pachisi]

Si, credo di esserci riuscito ora.
Grazie comunque per aver risposto.

[Steven11]

"Pachisi":Si, credo di esserci riuscito ora.
Grazie comunque per aver risposto.

Ti andrebbe di dare uno sketch veloce della dimostrazione sintetica?

[Pachisi]

Certo

($ \alpha $ è l'angolo opposto $ BC=a $, $ \beta $ è l'angolo opposto $AC=b$, $\gamma$ e` l'angolo opposto $AB=c$)

Dalla relazione data troviamo che $\alpha+\beta=90-1/2\alpha $. Sia $\gamma$ il terzo angolo del triangolo. Abbiamo $\gamma=90+1/2\alpha$. Allora, è possibile prendere un punto $P$ sul lato $AB$ tale che $\hat{ACP}=90-1/2\alpha$. Segue che $\hat{APC}=90-1/2\alpha$, quindi $AP=AC=b$. Notiamo che sarà $\hat{PCB}=\alpha$ e $\hat{CPB}=\gamma$. Allora, il triangolo $CPB$ è simile al triangolo $ACB$. Allora, dovrà essere $a/c=(c-b)/a$, da cui segue la tesi.

[Steven11]

Carino, mi ero impicciato in una costruzione piu' complicata purtroppo!

ps: hai introdotto un vertice $D$ ad un certo punto, che dovrebbe essere $P$.

Ciao!

[Pachisi]

Grazie
Ah si, errore di battitura. Lo cambio ora.