Tre circonferenze
Siano date tre circonferenza di raggio $1$ passanti per un punto $P$ a due a due non tangenti tra loro, siano $A$,$B$,$C$ i loro ulteriori punti di intersezione. Si dimostri che per $A$, $B$ e $C$ passa una circonferenza di raggio $1$.
Risposte
Sia $\Gamma_A$ la circonferenza che passa per $P$, $B$ e $C$, e si definiscano $\Gamma_B$ e $\Gamma_C$ in modo analogo.
Sia $A'$ diametralmente opposto a $P$ in $\Gamma_A$, e si definiscano $B'$ e $C'$ in modo analogo.
Si ha $PA'=PB'=PC'=2$.
L'angolo $PCB'$ è retto, così come $PCA'$. Pertanto i punti $B'$, $C$, $A'$ sono allineati.
Inoltre i triangoli $PB'C$ e $PA'C$ sono congruenti, in quanto triangoli rettangoli aventi ipotenuse congruenti e un cateto in comune. Quindi $C$ è punto medio di $A'B'$.
In modo del tutto simile si dimostra che $A$ è punto medio di $B'C'$ e che $B$ è punto medio di $A'C'$.
Quindi il triangolo $ABC$ ha per vertici i punti medi dei lati di $A'B'C'$. Quest'ultimo è inscritto in una circonferenza di raggio $2$, quindi (si tratta di una configurazione abbastanza ricorrente) il triangolo $ABC$ è inscritto in una circonferenza di raggio $1$, come volevamo dimostrare.
Sia $A'$ diametralmente opposto a $P$ in $\Gamma_A$, e si definiscano $B'$ e $C'$ in modo analogo.
Si ha $PA'=PB'=PC'=2$.
L'angolo $PCB'$ è retto, così come $PCA'$. Pertanto i punti $B'$, $C$, $A'$ sono allineati.
Inoltre i triangoli $PB'C$ e $PA'C$ sono congruenti, in quanto triangoli rettangoli aventi ipotenuse congruenti e un cateto in comune. Quindi $C$ è punto medio di $A'B'$.
In modo del tutto simile si dimostra che $A$ è punto medio di $B'C'$ e che $B$ è punto medio di $A'C'$.
Quindi il triangolo $ABC$ ha per vertici i punti medi dei lati di $A'B'C'$. Quest'ultimo è inscritto in una circonferenza di raggio $2$, quindi (si tratta di una configurazione abbastanza ricorrente) il triangolo $ABC$ è inscritto in una circonferenza di raggio $1$, come volevamo dimostrare.
Esatto, un altro modo è considerare i tre rombi che si formano congiungendo $A$,$B$,$C$ e $P$ con i centri delle tre circonferenze, i tre rombi in pratica formano la parte visibile di un cubo unitario in assonometria, esiste pertanto un altro punto $P_1$ in cui $A$,$B$,$C$ si incontrano e che dista $1$ da $A$,$B$ e $C$ essendo un vertice del cubo.
Mi pare che tempo fa sia passato un quiz che era in pratica il rovescio di questo. Ma non ne sono sicuro.
In quello rovescio, si dimostra che, dato un qualunque triangolo $ABC$ ed il suo ortocentro $P$, i cerchi circoscritti ai tre triangoli
$ABP$, $BCP$, $CAP$
hanno lo stesso raggio del cerchio circoscritto ad $ABC$.
Fatta questa dimostrazione, l'affermazione che questo quiz chiede di dimostrare diventa un corollario!
Metto allora una immagine PNG con il testo della dimostrazione del «viceversa»
In quello rovescio, si dimostra che, dato un qualunque triangolo $ABC$ ed il suo ortocentro $P$, i cerchi circoscritti ai tre triangoli
$ABP$, $BCP$, $CAP$
hanno lo stesso raggio del cerchio circoscritto ad $ABC$.
Fatta questa dimostrazione, l'affermazione che questo quiz chiede di dimostrare diventa un corollario!
Metto allora una immagine PNG con il testo della dimostrazione del «viceversa»
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