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Scacchi
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Domande e risposte
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Dimostrare che per ogni $N,k in NN$ con $N>0$ e $k<N$ si ha:
$sum_{n=0}^{N}((N),(n))((n),(k))( -) ^{n-k}$
(corretto)
Sia $P_k(n)$ con $k<=n$ il numero di modi in cui si può ripartire $n$ in $k$ interi positivi.
Dimostrare che per ogni $n$ si ha
$(-1)^n=P_1(n)-P_2(n)+P_3(n)-...+-P_(n-1)(n)$
ad esempio
$1=P_1(2)$
$-1=P_1(3)-P_2(3)=1-2$
$1=P_1(4)-P_2(4)+P_3(4)=1-3+3$
$-1=P_1(5)-P_2(5)+P_3(5)-P_4(5)=1-4+6-4$
.....
Ciao!
PS dimenticavo, dimostrare il tutto senza ricorrere a formule esplicite per $P_k(n)$, che ne so con i coefficienti binomiali o simili...
UK-IMO: sia $X \subseteq \mathbb{Q}$ tale che i) $1/2 \in X$; ii) $1/(x+1), x/(x+1) \in X$, per ogni $x \in X$. Mostrare che allora $X \supseteq ]0, 1[ \cap \mathbb{Q}$.
EDIT: in realtà devo apportare una piccola correzione alla traccia originale del problema: più che esserci uguale, l'insieme X contiene l'intersezione dell'intervallo $]0,1[$ con i razionali.
EDIT: ho modificato il titolo del topic, che ancora conteneva un riferimento all'uguaglianza inizialmente postulata dalla traccia (poi ...
Preso un valore $k$ preso da un insieme $S$di tutti i numeri naturali compresi tra due valori $a$ e $b$.
Quante sono i valori di $k$ per cui anche $phi(k)$ è compreso nell'insieme $S$, dove $phi(k)$ è la funzione totiente di eulero.
P.sQUesto problema l'ho inventato io e la soluzione non la conosco.Anyway,se è assurdo o banale avvertitemi....
Mostrare che ogni numero intero positivo può essere scritto come somma di distinti numeri primi
(Per questo quesito, si assuma che uno sia un numero primo!!)
L'esercizio (del Larson) iniziava con un aiuto, ma vista la bravura di molti risolutori di questo forum l'ho volutamente omesso cmq al massimo lo posterò dopo.
Sia $k>=1$ un numero naturale. Determinare in funzione di $k$ il numero di interi positivi $n$ con le seguenti proprietà:
a) in base dieci si scrivono con $k$ cifre, tutte dispari;
b) sono divisibili per 5, e il quoziente $n/5$, scritto in base dieci, ha ancora $k$ cifre, tutte dispari.
Questo è un esercizio della gara di secondo livello delle olimpiadi di matematica di quest'anno (che si sono svolte il 16 ...
per dimostrarvi che un pò di matematica la mastico vi propongo dua quesiti,cosa che oggi ho fatto durante gli intervalli tra una lezione e l'altra (cioe in una mezz'oretta):
$a^n-b^n=(a-b)*f_n(a,b)$ trovare f(a,b)$ <br />
<br />
(si consiglia di almeno provarci da soli in modo da poter confrontare il procedimento sennò non avrebbe senso)<br />
<br />
e di usarla per dimostrare che: per ogni s,t $in mathbb{N} a=s^2+t^2, b=t^2-s^2, c=2st$ sono terne a,b,c 'pitagoriche'.
Dimostrare che per ogni primo $p$ esistono tre numeri $x, y, z$ e un numero $0<w<p$ tali che
$x^2+y^2+z^2=wp$
preso da: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=74603
dimostrare che se f(x)=f(-x) allora in 0 f'(0)=0 oppure f(x) non è derivabile in 0.
Sia $P(n)$ la funzione che restituisce il numero di partizioni dell'intero $n$, e sia $sigma(n)$ la funzione che restituisce la somma di tutti i divisori di $n$, dimostrare che
$P(n)=1/n sum_(k=0)^(n-1) P(k)sigma(n-k)$
Sia $p_d(n)$ la funzione che restituisce il numero di partizioni dell'intero $n$ in numeri dispari distinti, dimostrare che
$sum_(k=0)^(2n) (-1)^k p_d(2n-k)p_d(k)=(-1)^n p_d(n)$
Ciao!
una "piramide" di bicchieri è costruita nel seguente modo:
1° piano 1X2 (rettangolo formato da 2 bicchieri)
2° piano 2x3
3° piano 3X4
.
.
.
.
.
2000° piano 2000X2001
calcolare il numero totale di bicchieri ke compongono la piramide.
Grazie in anticipo x l'aiuto e se potete scrivetemi il procedimento (...è quello ke mi interessa)
Volevo avvisarvi che quest'anno la gara di Matematica si farà!
Per i nuovi utenti e per tutti quelli che non la conoscono: andate qui... La prima
edizione della gara è stata fatta nel 2002 mi pare... Dopodiché è stata rifatta
tutti gli anni successivi, tranne nel 2005. Quest'anno si riprende!
Mi aspetto tantissimi partecipanti, mooolti di più
che nel 2004 quando io stesso ho partecipato per la prima volta!
Come ben sappiamo $ln2$ ha parecchie particolarità interessanti, ecco una di queste, per $n in NN^+$ si ha
$ln2-n(...(ln2-4(ln2-3(ln2-2(1-ln2)))))...=1/(n+1)-1/(n+2)+1/(n+3)-1/(n+4)+...$
ovviamente avrei potuto esprimere le somme e il prodotto in forma chiusa ma così ritengo sia più elegante, qualche idea su come dimostrarlo?
PS io l'ho fatto analiticamente, ma forse si può fare anche per induzione...
Ciao!
la verità è che non ci ho più provato... ma visto che non ne ho voglia e che qui c'è gente in gamba lo lascio a voi:
un problema myself escaturito dalla potenza del mio pensiero:
sia dato un poligono regolare (es:pentagono regolare,triangolo equilatero,quadrato,ettagono regolare,etc...) di n lati, si traccino tutte le sua diagonali: calcolare in quante zone viene divisa l'area che tale poligono delimita.
A 12 anni non ci sono riuscito...
otto meno sette fa sei... anche i bambini lo sanno
mi hanno assicurato che c'entra la logia, ma sto diventando scemo.. aiutatemi!
Ciao a tutti!
Consideriamo la terra come una sfera perfetta, e supponiamo di trovarci al polo Nord. Se percorriamo 1 km verso Sud, poi 1 Km verso Est, poi 1 km verso Nord, ci ritroviamo al punto di partenza, cioè al polo Nord. Dunque il polo Nord è uno dei punti $P$ della sfera terrestre, distanti almeno 1 km dal polo Sud, che gode della seguente proprietà:
"Se ci si trova nel punto P e si percorre 1 km verso Sud, poi 1 km verso Est, poi 1 km verso Nord, si torna in P." (*)
La ...
Definiamo una sequenza di ordine $n$ come la sequenza di tutte le frazioni irriducibili con valore compreso tra $0$ e $1$ in cui ogni frazione della sequenza ha il denominatore minore o eguale ad $n$ messe in ordine crescente.Per esempio
$S_1=(0/1,1/1)$
$S_2=(0/1,1/2,1/1)$
$S_3=(0/1,1/3,1/2,2/3,1/1)$
Trovare e dimostrare una formula che esprima il numero di frazioni presenti in ogni sequenza $S_n$
Ciao!
vi ricordo che stanno scadendo le iscrizioni alle gare della Bocconi...per maggiori info:
http://matematica.unibocconi.it/giochi2 ... i20056.htm
decisamente un'altra cosa dalle Olimpiadi della Normale...però ci sono affezionato per due motivi diversi:è stata la prima gara a cui ho partecipato in prima media e mi sono qualificato per la finale nazionale (alla quale poi ho fatto chiaramente schifo! ), secondo motivo: è l'unico tipo di gara matematica (che io sappia) aperta anche a chi nn fa più le scuole ...
1) Si osservi attentamente la serie proposta: 401 - 403 - 409 - 411 - 419 - 421 – 431. Quali numeri sono da eliminare?
a) 409 - 411. b) 403 - 411. c) 403 - 419. d) 401 - 421.
2) Si osservi attentamente la serie proposta: 443 - 447 - 449 - 457 - 459 - 461 – 463. Quali numeri sono da eliminare?
a) 447 - 461. b) 443 - ...
Due amici A e B si alternano a scrivere cifre binarie dopo il punto decimale, producendo un numero reale nell'intervallo [0,1]. A vince se il numero è trascendente e perde se è algebrico.
Superato lo scoglio di riuscire a fare nella realtà il gioco per il fatto che la scelta delle cifre binarie 0 e 1 si replica all'infinito, A può esser certo di vincere?
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