Problema difficillissiimo (X me....)

[marco19881]

una "piramide" di bicchieri è costruita nel seguente modo:
1° piano 1X2 (rettangolo formato da 2 bicchieri)
2° piano 2x3
3° piano 3X4
.
.
.
.
.
2000° piano 2000X2001
calcolare il numero totale di bicchieri ke compongono la piramide.

Grazie in anticipo x l'aiuto e se potete scrivetemi il procedimento (...è quello ke mi interessa)

[Sk_Anonymous]

Se la piramide ha $n$ piani, dove $n$ è un intero positivo, allora è dato che l'$i$-esimo fra questi, per ogni $i = 1, 2, ..., n$, è formato esattamente da $i(i+1)$ bicchieri. Perciò il numero complessivo di bicchieri che compongono la piramide è semplicemente $\sum_{i=1}^n i(i+1) = \sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. Adesso mettici $n = 2000$ e il gioco è fatto...

[marco19881]

Grazie mille ma non capisco come fai a passare da
\sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i
a
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}
è qualche proprietà particolare della sommatoria?

[marco19881]

Ho scritto male il messaggio prima
scusate
cmq la mia domanda è sempre la stessa
non capisco questo passaggio!
$\sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$
grazie mille ciao a tutti

[Sk_Anonymous]

Semplicemente ho dato per assunto che ti fossero note le seguenti relazioni: i) $\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$; ii) $\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$, qualunque sia $n \in \mathbb{N}$. Whether you ask for, induction is a way to prove both of them...

[Nidhogg]

$sum_{i=1}^n i=(n*(n+1))/2$

Bisogna dimostrare che $1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2$ $AA n>=1 in NN$

$AA n>=1 in NN$ $P_n:1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2$

$(P_n)_{n>=1}$ Vera?

(1) base di induzione: $bar n=1$. $P_1$ è vera? Si, perchè $1=(1*(2))/2=1$

(2) Sia $P_i$ vera per Hp di induzione $rarr 1+2+3+...+i=(i*(i+1))/2$

Quindi devo provare $1+2+3+...+i+(i+1)=((i+1)*(i+2))/2$. Questo $1+2+3+...+i$ è uguale a $(i*(i+1))/2$.
Quindi otteniamo: $(i*(i+1))/2+(i+1)=((i+1)*(i+2))/2$. Questa uguaglianza è vera, e quindi è dimostrato che $sum_{i=1}^n i=(n*(n+1))/2$

L'altra è analoga. Ciao!

[Sk_Anonymous]

In alternativa (Gauss - dicono avesse 10 anni): $s := \sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n (n+1-i) = n(n+1) - s$, da cui $2s = n(n+1)$, e quindi $s = n(n+1)/2$.