Uguaglianza

[ficus2002]

Dimostrare che per ogni $N,k in NN$ con $N>0$ e $k
$sum_{n=0}^{N}((N),(n))((n),(k))( -) ^{n-k}$

(corretto)

[Nidhogg]

Se ho capito bene si ha:

$sum _{n=k}^{N} ((-1)^(N-k)*N!)/(k!*(N-n)!*(n-k)!)=0$

Ma per N=10 e k=9, si ha -20. Per N=10 e k=8, si ha 180.

Credo sia $k>N$ e non il contrario.

Ho interpretato male?

[ficus2002]

hai ragione, ho corretto il testo.

[Nidhogg]

Avete...!

Comunque io ho trovato che:

$sum_{n=k}^{N} ((N),(n))((n),(k))(-1)^(n-k)=0$

Ciao!

[ficus2002]

Posta pure la soluzione...

[Sk_Anonymous]

"ficus2002":Dimostrare che per ogni $N,k in NN$ con $N>0$ e $k

Ci manca ancora un "-1". Inoltre si può bellamente ammettere - giusto perché così il problema diventa un ciccinin più interessante! - che l'estremo inferiore di sommazione sia $k$, anziché $0$. E infatti...

-----------------

Problema: per ogni $N, k \in \mathbb{N}$ tali che $0 \le k < N$, vale $sum_{n=k}^{N}(-1)^{n-k} ((N),(n))((n),(k)) = 0$.

Soluz.: semplicemente espandendo i binomiali, si può scrivere $sum_{n=k}^{N}(-1)^{n-k} ((N),(n))((n),(k)) = \frac{N!}{k!} \cdot\sum_{n=k}^N \frac{(-1)^{n-k}}{(N-n)! (n-k)!}$ $= \frac{N!}{k!} \cdot \sum_{i=0}^{N-k} \frac{(-1)^i}{(N-k-i)! i!} = ((N),(k)) \cdot \sum_{i=0}^{N-k} (-1)^i ((N-k),(i)) = ((N),(k)) \cdot (1-1)^{N-k} = 0$, siccome $0 \le k < N$.

[ficus2002]

la tua soluzione va bene, però...provate a dimostrarlo senza svolgere i binomiali...

[Sk_Anonymous]

"ficus2002":la tua soluzione va bene, però...provate a dimostrarlo senza svolgere i binomiali...

Il double counting non è il mio forte. Soprattutto preferisco l'algebra. In compenso però potrei tentare una dimostrazione che usi le differenze finite. Ma d'altro canto perché complicarsi la vita, che già di suo è piuttosto incasinata? Dunque me ne starò buono ad aspettare che qualcuno proponga di suo argomenti alternativi.

[ficus2002]

suggerimento: pensare alle potenze di un binomio...

posto la soluzione:

$(x-1+1)^N=sum _{n=0}^{N} ((N),(n))(x-1)^n=sum _{k=0}^{n} sum _{n=0}^{N} ((N),(n)) ((n),(k))(-)^{n-k} x^k=x^N$

uguagliando i coefficienti:

$sum _{n=0}^{N} ((N),(n)) ((n),(k))(-)^{n-k}=0$

per ogni $k

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