Funzione partizione

[carlo232]

Sia $P(n)$ la funzione che restituisce il numero di partizioni dell'intero $n$, e sia $sigma(n)$ la funzione che restituisce la somma di tutti i divisori di $n$, dimostrare che

$P(n)=1/n sum_(k=0)^(n-1) P(k)sigma(n-k)$

Sia $p_d(n)$ la funzione che restituisce il numero di partizioni dell'intero $n$ in numeri dispari distinti, dimostrare che

$sum_(k=0)^(2n) (-1)^k p_d(2n-k)p_d(k)=(-1)^n p_d(n)$

Ciao!

[eafkuor1]

"carlo23":e sia $sigma(n)$ la funzione che restituisce la somma di tutti i divisori di $n$,

domanda sciocca: incluso n?

p.s. tu lo hai già dimostrato?

[Nidhogg]

Ovviamente n è incluso. $sigma(n,k)$ è definita la somma della k-esima potenza dei divisori positivi di n e $sigma(n)$ somma dei divisori di n!

[carlo232]

"eafkuor":p.s. tu lo hai già dimostrato?

Si si, l'ho dimostrato parecchio tempo fa senza sapere fosse un risultato già noto.

[Nidhogg]

Già noto! Il buon vecchio Eulero!

[carlo232]

"leonardo":Già noto! Il buon vecchio Eulero!

Ah, io credevo fosse un risultato di un altro matematico non ricordo il nome adesso... evidentemente ci troviamo davanti a uno di quei teoremi che hanno raggiunto in parecchi indipendentemente.

Un teorema simile che ho scoperto e che coinvolge i numeri pentagonali è postato in "congetture e libera ricerca", per quanto riguarda quello sembra che non sia un risultato già noto, comunque ci tengo a precisare (per evitare alcuni assurdi e fastidiosi equivoci...) che non rivendico la scoperta di nessun teorema si tratta di risultati a cui sono giunto indipendentemente da altri.

Ciao!

[eafkuor1]

bè a questo punto come al solito siamo curiosi di vedere la tua dimostrazione

[carlo232]

"eafkuor":bè a questo punto come al solito siamo curiosi di vedere la tua dimostrazione

Pensavo di aspettare ancora un pò, dopotutto il post è stato visto solo da 60 persone, ora ho un impegno comunque entro le
6 o anche prima dovrei esserci, se nessuno ha idee i proposito posto la dimostrazione.

Ciao!

[carlo232]

"eafkuor":bè a questo punto come al solito siamo curiosi di vedere la tua dimostrazione

Eccola qui, cerchiamo la funzione generatrice di $P$ abbiamo che per $|x|<1$

$1/(1-x^n)=1+x^n+x^(2n)+x^(3n)+...$

da cui segue da alcune considerazioni combinatorie che è

$prod_(n=1)^infty (1/(1-x^n))=sum_(n=1)^infty P(n)x^n=F(x)$

ora prendiamo il logaritmo di $F(x)$ e deriviamo

$lnF(x)=-sum_(n=1)^infty ln(1-x^n)$

$F'(x)/{F(x)}=sum_(n=1)^infty (nx^n)/(1-x^n)=sum_(n=1)^infty sigma(n)x^n$

dove l'ultimo mebro segue riordinando i termini, infatti ogni esponente $n$ appare tante volte quante si può scrivere come $dk$ e con un peso $d$. Abbiamo infine

$F'(x)=sum_(n=1)^infty nP(n)x^(n-1)=[sum_(n=1)^infty P(n)x^n][sum_(n=1)^infty sigma(n)x^n]$

e la tesi segue per il prodotto di Cauchy. Ora non dovrebbe essere troppo difficile dimostrare il risultato riguardante $p_d$...

Ciao!