$ln2$

[carlo232]

Come ben sappiamo $ln2$ ha parecchie particolarità interessanti, ecco una di queste, per $n in NN^+$ si ha

$ln2-n(...(ln2-4(ln2-3(ln2-2(1-ln2)))))...=1/(n+1)-1/(n+2)+1/(n+3)-1/(n+4)+...$

ovviamente avrei potuto esprimere le somme e il prodotto in forma chiusa ma così ritengo sia più elegante, qualche idea su come dimostrarlo?

PS io l'ho fatto analiticamente, ma forse si può fare anche per induzione...

Ciao!

[carlo232]

"carlo23":
$ln2-n(...(ln2-4(ln2-3(ln2-2(1-ln2)))))...=1/(n+1)-1/(n+2)+1/(n+3)-1/(n+4)+...$

Per evitare fraintendimenti, visto che magari sono stato poco chiaro, il primo membro si può definire in modo iterativo per ogni $n$, si ha detto $f(n)$ il primo membro

$f(1)=1-ln(2)$

$f(n)=ln2-nf(n-1)$ $forall n>1$

[Sk_Anonymous]

"carlo23":[...] per $n in NN^+$ si ha

$ln2-n(...(ln2-4(ln2-3(ln2-2(1-ln2)))))...=1/(n+1)-1/(n+2)+1/(n+3)-1/(n+4)+...$

[...] Per evitare fraintendimenti, visto che magari sono stato poco chiaro, il primo membro si può definire in modo iterativo per ogni $n$, sia detto $f(n)$ il primo membro

$f(1)=1-ln(2)$

$f(n)=ln2-nf(n-1)$ $forall n>1$

Mmmh... No, mi spiace, non è vero! Per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$, si può scrivere $1/(n+1)-1/(n+2)+1/(n+3)-1/(n+4)+... = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1} \cdot \frac{1}{n+k} = (-1)^n \cdot \ln 2 + \sum_{k=1}^n (-1)^{n+k} \cdot \frac{1}{k}$. Se perciò fosse mai vera l'identità che tu dichiari aver provato, si avrebbe in particolare $3\ln 2 - 2 = f(2) = (-1)^n \cdot \ln 2 + \sum_{k=1}^n (-1)^{n+k} \cdot \frac{1}{k}$. Quest'è però assurdo, poiché contraddice l'irrazionalità di $\ln 2$.

[carlo232]

"HiTLeuLeR":Quest'è però assurdo, poiché contraddice l'irrazionalità di $\ln 2$.

è già, ho poi ricontrollato è ho trovato l'errore nella mia dimostrazione, la cosa strana è che quello non è un mio teorema ma ho trovato l'enunciato su internet, se ritrovo il link lo posto.

Ciao!

[Sk_Anonymous]

"carlo23":[...] la cosa strana è che quello non è un mio teorema ma ho trovato l'enunciato su internet, se ritrovo il link lo posto.

E cosa mai ci vorresti trovar di strano, scusa? Su internet se ne leggono tante e tali, di ca**ate...

[carlo232]

"HiTLeuLeR":[quote="carlo23"][...] la cosa strana è che quello non è un mio teorema ma ho trovato l'enunciato su internet, se ritrovo il link lo posto.

E cosa mai ci vorresti trovar di strano, scusa? Su internet se ne leggono tante e tali, di ca**ate... [/quote]

Indubbiamente, basti pensare alle innumerevoli dimostrazioni elementari dell'ultimo teorema di Fermat...