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Buonasera, sto affrontando il seguente esercizio: $(0,0)$ è un punto di minimo locale per la funzione $f(x,y)=(x^2+y^2)^2(y-x^4-\alpha)$ con $\alpha \in R$ se e solo se: A. $\alpha < 0$ B. $\alpha > 0$ C. $\alpha \geq 0$ D. $\alpha \leq 0$ Ragionando sulla definizione di estremo mi occorre scrivere un sistema dove sia $\grad f (0,0) = 0$, il determinante della matrice Hessiana non negativo e l'elemento $h_{11} > 0$. Ho provato a calcolare tutte le derivate necessarie, più e più ...

Buongiorno, qualcuno sa risolvere questo integrale improprio?

Ciao, mi sono imbattuta in un esercizio che non so risolvere e vorrei proporvelo; la richiesta è trovare un'identificazione da \[ [0,1]^3 \] a \[ S^2xS^1 \] entrambi muniti della topologia euclidea. Credo che per l'ultima coordinata sia sufficiente usare $(\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))$ (se così non è, correggetemi), mentre mi da' problemi la prima parte dal quadrato alla sfera.

Salve a tutti, sto avendo difficoltà con il seguente esercizio: Determina il polinomio di Taylor di ordine 3 nel punto $x_0=0$ di: $log(e^(2x)-sinx)$ Ho pensato di raccogliere per $e^(2x)$ e trovare $2x + log(1+(-sinx/(e^(2x))))$ porre $ y=-sinx/(e^(2x))$ e usare lo sviluppo del logaritmo. E poi? come dovrei gestire il seno e l'esponenziale? Li sviluppo e basta? vien fuori una mezza schifezza. Tutto nella norma? A conti fatti dovrei avere $log(1+y) = y -1/2y^2 +1/3y^3 + o(y^3)$. Invece sviluppando ...

Ciao, vi inoltro un esercizio datomi dal professore di topologia in cui sto trovando alcune difficoltà: definiti $\Pi_j={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z=j}$ e $Z={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z\in(-1,1), x=y=5}$ (che dovrebbe essere un segmento verticale) viene dato lo spazio $X\subset \mathbb{R}^3$ che è dato da quest'unione $X={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2<1}\cup Z \cup \Pi_1 \cup \Pi_-1 \cup (\cup_{n\in\mathbb{N}, n\ne 0} \Pi_{1+1/n})$ Ho dimostrato che X non è connesso e che $\pi_0(X)$ ha un'infinità numerabile di componenti, mi chiede ora di determinare l'insieme dei punti che hanno un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi e ...

Sia $rsupRR^3$ una retta e sia $CsupRR^3$ una circonferenza. Si ponga $X = RR^3\\(ruuC)$. Nel caso particolare in cui $r = {(0, 0, z) | zinRR}$ e $C = {(x, y, 0) | x^2 + y^2 = 1}$, si provi che $X$ si retrae per deformazione sul toro $2$-dimensionale ottenuto ruotando la circonferenza ${(x, 0, z)|(x − 1)^2 + z^2 =1/4}$ intorno all’asse $z$. Si determini il gruppo fondamentale di $X$. Io avevo pensato di fare così: sia $(x',y',0)inC$ consideriamo il semipiano che ...

Sia $n>= 1$ un intero. Si consideri lo spazio proiettivo reale $n$-dimensionale $\mathbb{P}^n(RR)$. Si consideri il punto $p = [0 : ... : 0 : 1]in\mathbb{P}^n(RR)$ e la $n$-esima carta affine standard $U_n = {[x_0 : ... : x_n]in\mathbb{P}^n(RR)| x_n!=0}$ di $\mathbb{P}^n(RR)$. Fissato $p_0inU_n\\{p}$, si studi l’omomorfismo di gruppi $f:pi_1(U_n\\{p}, p_0)->pi_1(\mathbb{P}^n(RR)\\{p}, p_0)$ indotto dall’inclusione $U_n\\{p}->\mathbb{P}^n(RR)\\{p}$. Sappiamo che $U_n\\{p}$ è omotopicamente equivalente a $S^(n-1)$ per cui è semplicemente connesso, ma ...

Buonasera, ho un problema con questo esercizio ma sembra che sono abbastanza vicino alla soluzione, devo aver avuto qualche dimenticanza. Un protone (m = 1,7 10-27 kg; q = 1,6 10-19 C) entra perpendicolarmente con velocità pari a c/10 in una regione di spazio profonda d = 10 cm in cui incontra un campo magnetico uniforme B = 1 T perpendicolare alla traiettoria d'ingresso. Determinare l'angolo fra la traiettoria in ingresso e quella in uscita. Ho cominciato osservando che ...

Sia $n>=1$ un intero. Siano $EsubeRR^2$ un sottoinsieme di cardinalità $n$. Si provi che $RR^2\\E$ è omotopicamente equivalente a un bouquet di $n$ circonferenze. A meno di traslare gli $n$ punti possiamo posizionarli in modo equispaziato su $S^1$ nel piano $RR^2$. Dividiamo il piano $RR^2$ in $n$ parti uguali ognuno contenente uno solo tra questi $n$ punti, in ...

Si provi che il complementare di un punto in $S^1xxS^1$ è omotopicamente equivalente al bouquet di $2$ circonferenze $S^1 ∨ S^1$. Abbiamo che $S^1xxS^1$ è omeomorfo al quoziente $([0, 1]xx [0, 1])/ /∼$ dove $∼$ è la relazione di equivalenza sul quadrato $[0, 1]xx[0, 1]$ generata da $(x, 0) ∼ (x, 1)$ e $(0, y) ∼ (1, y)$ al variare di $x, yin[0, 1]$. A meno di traslazione possiamo considerare il punto interno al quadrato $[0, 1]xx[0, 1]$, così da ...

Buon pomeriggio a tutti. Mi trovo ad affrontare un esercizio che, al contrario di altri, mi sta veramente dando delle grane, mi sento davvero incapace! L'esercizio è il seguente: si ha la funzione \[ f(x, y) = \begin{cases} x & y < x^3 \\ y & y \geq x^3 \end{cases} \] Mi viene chiesto di determinare i punti in cui $f$ è continua, i punti in cui esistono le derivate parziali e i punti in cui è differenziabile. Ora, io ho capito un po' com'è il grafico: sono due piani che vengono ...

Salve a tutti! sto risolvendo questo es. di Chimica Il Vanadio e l'Ossigeno formano una serie di composti con le seguenti composizioni: % in massa di V ; % in massa di O 76.10 ; 23.90 67.98 ; 32.02 61.42 ; 38.58 56.02 ; 43.98 Quali sono i numeri relativi di atomi di ossigeno nei composti per una data massa di Vanadio? Allora la massa totale di una mole di V e una di O è 66.94 g/mol e quindi per 100g di prodotto avrei $ 15.9994 * (100/66.94) = 23.90 g $ di ossigeno e $ 76.10 g $ di Vanadio. il ...

Salve a tutti, ho una domanda: come si rappresenta la parte decimale, cioè la parte compresa $[0,1]$ di un numero reale con una successione di intervalli dimezzati. Per esempio se volessi rappresentare il numero $2,1234$ come faccio a scrivere la parte $0,1234$ con una successione di intervalli dimezzati. Grazie

Buonasera trascrivo un esercizio da un tema d'esame di Analisi 2: Sia $f \in C^0(R^2,R) $ e $ C={ (x,y) \in R^2: x^{10}+y^{10} \leq \pi}$ Indicare se le affermazioni sono vere o false: 1) $f(C)$ è un intervallo chiuso 2) $f(C)$ è un insieme limitato Nelle soluzioni, entrambe sono vere. Grazie alla continuità di $f$, le proprietà topologiche di $C$ sono valide anche in $f(C)$, quindi è sufficiente studiare solo l'insieme $C$. Probabilmente mi sto ...

Si determini una relazione di equivalenza \( \simeq \) su $\mathbb{P}^n(RR)//$\( \simeq \) tale che lo spazio topologico quoziente $\mathbb{P}^n(RR)$ è omeomorfo a $S^n$. Consideriamo lo spazio topologico quoziente $\mathbb{P}^n(RR)//([S^(n-1)xx{0}]_{\mathbb{P}^n(RR)})$, detto collassamento o contrazione di $[S^(n-1)xx{0}]_{\mathbb{P}^n(RR)}$ a un punto, questo è omeomorfo a $(S^n//~_a)//([S^(n-1)xx{0}]_{~_a})$ (dove $~_a$ è la relazione di antipodalità) quest'ultimo è omeomorfo a $S^n$ (intuitivamente basta guardare cosa succede su ...

Buongiorno, avrei questo esercizio da risolvere. In figura è rappresentata una doppia fenditura in cui una sola delle due fenditure è coperta da un foglio di plastica (n=1,60). Quando la doppia fenditura è illuminata con luce monocromatica (λ = 586 nm), il centro dello schermo appare scuro anziché chiaro. Quale è lo spessore minimo del foglio di plastica? Purtroppo non ho molte idee su come svolgere questo esercizio, se non considerare un $2t$ + ...

Buonasera, chiedo qui perché ho problemi nello svolgere questo esercizio: Una spira quadrata di lato a = 1 cm, percorsa da una corrente I = 1 mA circolante in verso antiorario, è disposta col centro nell'origine del piano (x,y) e con i lati paralleli agli assi. Nello spazio è presente un campo B di componenti Bx = By = 0, Bz = B0 (1 + y/a) con B0 = 1 mT. Determinare intensità, direzione e verso della forza agente sulla spira. Avevo pensato di impostarlo usando la seconda ...

Definiamo quoziente $S^(2n+1)//S^1$: $S^(2n+1)$ è la sfera unitaria in $RR^(2n+2)= CC^(n+1)$, $S^1$ è la sfera unitaria in $CC$, il gruppo moltiplicativo $S^1$ agisce su $S^(2n+1)$ tramite moltiplicazione, cioè $\lambda*z = \lambdaz$ per ogni $\lambdainS^1$ e $zinS^(2n+1)subeCC^(n+1)\\{0}$. Mostrare che $S^(2n+1)//S^1$ è T2. Ho provato a mostrare che la proiezione sul quoziente sia chiusa oppure trovare un aperto $A$ di $S^(2n+1)$ che ...

Cercando i postulati di Euclide su wikipedia e su altri siti italiani ho trovato i primi due scritti così: 1-per due punti distinti di un piano passa una e una sola retta; 2-si può prolungare la retta oltre i due punti indefinitamente; Dato che non ero convinto ho cercato in inglese ed ho trovato "...drawn a straight line from any point to any point"; secondo me qualcuno ha sbagliato la traduzione, che sarebbe "linea DRITTA da un punto ad un altro", quindi segmento, finito, non "linea ...

Ho letto su wikipedia, sia in inglese che in italiano, che il movimento di 3 corpi possiede 5 punti di equilibrio, i cosiddetti punti di Lagrange, di cui alcuni stabili e altri instabili. E gli altri punti della traiettoria? Devono essere per forza dei punti di equilibrio anche quelli, o no? Se è cosi' perchè non vengono presi in considerazione?(chiaramente parlo del caso dei pianeti del sistema solare ad esempio sole-terra-luna) Grazie in anticipo!! Saluti!