Relazione tra autovalori e rango

[IreneLoGiudice]

[pgn][/pgn]Buongiorno,
la mia matrice è R = $[[1,1],[1,1]]$, con rango = 1.
Come faccio da qui a dedurre che un autovalore sarà nullo senza calcolarlo? Che tipo di relazione intercorre tra autovalori e rango?
Grazie in anticipo

[Lysithe4]

Hai già trovato che il rango della matrice è 1, da cui sai trovare che il Ker ha anch'esso dimensione 1.
Ora, basta osservare che il Ker non è altro che un sottospazio vettoriale i cui vettori vengono mandati dall'applicazione lineare considerata in 0 (in questo caso sai che c'è un solo generatore, che sarà quindi autovettore relativo all'autovalore 0).
Puoi vederla così, il rango di una matrice ci dice quanti sono gli autovalori diversi da 0.

[j18eos]

"Lysithe4":[...] Puoi vederla così, il rango di una matrice ci dice quanti sono gli autovalori diversi da 0.

Falso!

Esempio:\(\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}\) ha rango \(\displaystyle2\) ma ha solo \(\displaystyle1\) come autovalore!

[Lysithe4]

Vero, non avevo tenuto conto della molteplicità

[megas_archon]

La "relazione tra autovalori e rango" è: per una mappa lineare \(f : V\to V\) su uno spazio vettoriale di dimensione finita, il rango è \(\dim V - \dim\ker f\), e \(\dim \ker f\) è la dimensione dell'autospazio di 0, quando $f$ non è iniettiva. (Pensa a questo problema: può succedere che la molteplicità geometrica di 0 come autovalore sia inferiore a quella algebrica? Se no, perché? Se sì, perché?)