Termodinamica - Trasformazioni cicliche

[Yiso104]

Ecco il problema:

Una mole di gas ideale monoatomico compie il seguente ciclo:
1. viene riscaldato a volume costante $V_0$ da una temperatura $T_0$ fino a $2T_0$
2. espande in maniera isoterma fino al volume $2V_0$
3. viene raffreddata a volume costante fino a $T_0$
4. viene compressa lungo un’isoterma allo stato iniziale.
Determinare l’efficienza del ciclo.

Cercando di risolvere il problema ho trovato $\eta$ uguale ad 1, ma il professore mi ha dato un risultato ben differente, qualcuno mi può spiegare i passaggi per risolvere il problema?

Ho inziato calcolandomi tutti i lavori $W$ per infine calcolarmi $\eta = \frac{W_{TOT}}{Q_A}$, voglio capire se c è qualcosa di sbagliato nella formula che ho appuntato o mi sono confuso con i calcoli

[ingres]

Ciao Yiso 104, benvenuto nel Forum

Un ciclo termico non può avere rendimento unitario (II principio), quindi c'è sicuramente qualche errore.

Prova a postare i conti che hai fatto e il risultato atteso.

[Yiso104]

"ingres":Ciao Yiso 104, benvenuto nel Forum

Un ciclo termico non può avere rendimento unitario, quindi c'è sicuramente qualche errore.

Prova a postare i conti che hai fatto.

Ho cancellato e rifatto il problema varie volte, ma questo è l'ultimo procedimento che ho fatto:
Prima di tutto ho scritto tutte le variabili termodinamiche per ogni stato:

$A \qquad T_A=T_O \qquad V_A=V_O \qquad P_A=P_O$ (Situazione iniziale)

$B \qquad T_B=2T_O \qquad V_B=V_O \qquad P_B=?$ (Riscaldamento)

$C \qquad T_C=2T_O \qquad V_C=2V_O \qquad P_C=?$ (Aumento di Volume)

$D \qquad T_D=T_O \qquad V_D=2V_O \qquad P_D=?$ (Raffreddamento)

Poi ho scritto le formule per ogni trasformazione.

$AB \qquad \DeltaU=nc_v(T_B-T_A) \qquad Q=\DeltaU \qquad W=0$ [Isocora]

$BC \qquad \DeltaU=0 \qquad Q=W \qquad W=nRT_B \ln{\frac{V_C}{V_B}}$ [Isoterma]

$CD \qquad \DeltaU=nc_v(T_D-T_C) \qquad Q=\DeltaU \qquad W=0$ [Isocora]

$DA \qquad \DeltaU=0 \qquad Q=W \qquad W=nRT_D \ln{\frac{V_A}{V_D}}$ [Isoterma]

Poi ho calcolato la somma dei lavori

$W_{TOT} = nRT_B \ln{\frac{V_C}{V_B}} + nRT_D \ln{\frac{V_A}{V_D}} = 2RT_O \ln 2 + RT_O \ln \frac{1}{2} = RT_O \ln 2$

L'assorbimento di calore è:

$Q_A = nc_vT_o = \frac{3}{2}R$

Calcolando il tutto $\eta=\frac{\ln 2}{\frac{3}{2}}$ il che è uguale a $1.03$ che è ovviamente impossibile, il risultato che dovrebbe uscire è leggermente diverso, che sarebbe $\eta=\frac{\ln2}{\frac{3}{2} + 2 \ln 2}$, voglio capire cosa sto sbagliando

[ingres]

Risulta dalla legge dei gas che in ogni punto della trasformazione $(PV)/T = (P_0*V_0)/T_0$ Quindi
$P_B = 2 P_0$, $P_C=P_0$, $P_D=1/2P_0$

Poi per il resto è tutto corretto. Solo all'ultimo c'è un errore. Chiamiamo 1,2, 3,4 le trasformazioni

Lavoro Totale: $W_(TOT)=W_2+W_4 = ln 2 *R*T_0$

Totale Calore assorbito: $Q_(Ass) = Q_1 + Q_2 = c_v*T_0 + 2 ln2 *R*T_0 = (3/2 +2*ln2)*R*T_0$

Rendimento: $eta = W_(TOT)/Q_(Ass) = (ln 2)/(3/2 + 2ln 2) = 0.24 = 24 % $.

Nota: comunque $ln2/(3/2)=0.46$

Qui si chiude l'esercizio "scolastico", ma quello in questione è un ciclo noto. Se vuoi approfondire qui trovi altre considerazioni.

Si tratta di un ciclo di Stirling https://it.wikipedia.org/wiki/Ciclo_Stirling per il quale si trova in letteratura:

$eta=eta_(text(Carnot)) = 1-T_(min)/T_(max)$

che nel nostro caso darebbe $eta = 1 - T_0/(2 T_0) = 0.5$ cioè il 50%.

La differenza tra i due valori è nella valutazione del calore delle isocore. Durante tali trasformazioni varia la temperatura con assorbimento o cessione di calore.
Se si attribuisce lo scambio di calore ad una molteplicità di sorgenti in grado di ricevere e assorbire calore in modo reversibile, allora:

1) Tali sorgenti cedono il calore in 1 e lo recuperano in 3 e quindi hanno scambio nullo.
2) Alla fine lo scambio netto è solo in 2 con la sorgente $2T_0$ da cui si assorbe calore e in 4 con la sorgente $T_0$ in cui si cede calore

Per cui evidentemente il rendimento è quello massimo di Carnot. Nel nostro caso significa che $Q_(Ass) = Q_2$ e quindi

$eta = (ln 2)/(2 ln 2) = 0.5$

in accordo con il risultato teorico.

Se invece lo scambio avviene con 2 sorgenti (situazione più aderente al caso reale), il calore $Q_1$ è fornito dalla sorgente a temperatura $2 T_0$.
In questa situazione vale il rendimento calcolato sopra.

[Yiso104]

Grazie dell'aiuto, ho capito l'errore