[EX] Criterio di convergenza per serie numeriche

[Rigel1]

Visto che se ne è parlato qualche giorno fa, propongo questo esercizio soprattutto agli studenti di analisi I/II.

Consideriamo una serie $\sum a_n$ a termini positivi. Si dimostri che:
1. se $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\le 1$ definitivamente, allora $\sum a_n$ è divergente;
2. se esiste $c>1$ tale che $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\ge c$ definitivamente, allora $\sum a_n$ è convergente.

(Naturalmente questo teorema ammette anche una formulazione alternativa qualora esista il limite $\lim_n n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)$.)

Come applicazione di questo criterio, propongo questo esercizio (in realtà proposto da dissonance).

Determinare il carattere della serie $\sum_{n=0}^{\infty} ((\alpha), (n))$ al variare di $\alpha\in\mathbb{R}$, dove
$((\alpha), (n)) = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.

[Rigel1]

Mi raccomando, non accalcatevi, c'è posto per tutti!
Qualche hint in spoiler per invogliarvi:

1. Osservare che la successione $c_n = n\cdot a_n$ è (definitivamente) monotona crescente; concludere per confronto con la serie armonica.
2. Posto $c=1+\epsilon$, con $\epsilon = c-1> 0$, osservare che $n\cdot a_n - (n+1) a_{n+1} \ge \epsilon\cdot a_{n+1}$ definitivamente, diciamo da un certo indice $m$ in poi. Dunque, per ogni $N>m$, $\sum_{n=m}^{N-1} a_{n+1} \le \frac{1}{\epsilon} \sum_{n=m}^{N-1}[n\cdot a_n - (n+1) a_{n+1}]$.
Osservare, infine, che l'ultima sommatoria si semplifica assai...

[Paolo902]

Rigel, scusami, non avevo visto l'esercizio. Mi interessa la questione, ma mi devi perdonare, ho ben poco tempo ora per dedicarmici (la Geometria mi chiama!).

In ogni caso, ho un'idea per il primo punto.

Dalle ipotesi, esiste $n_0 >0$ tale che $forall n>=n_0$ risulta $n(a_n/a_(n+1)-1)<=1$. Detta allora $c_n$ la successione definita $c_n":"=na_n$, abbiamo che per $n>=n_0$, $n(a_n/a_(n+1)-1)<=1 => na_n<=na_(n+1)<=(n+1)a_(n+1)$ (poichè la serie è a termini positivi), cioè $c_n<=c_(n+1)$ e quindi la successione $c_n$ è monotona crescente (da $n_0$ in poi).
Dal fatto che la diseguaglianza di cui sopra valga $forall n>=n_0$ si deduce, in particolare, che $n_0*a_(n_0)<=na_n$ da cui $a_n>=(a_(n_0)n_0)/n$.

Da qui è immediato concludere per confronto con la serie armonica.

Ok fin qui? Appena ho tempo penso anche al secondo punto. Immagino che l'analoga formulazione con il limite (se questo esiste) sia come al solito, ma con i versi al contrario: se $l<1$ divergenza, se $l>1$ convergenza (con il caso dubbio $l=1$).

Grazie per l'esercizio.

P.S. E' per caso questo il criterio di Raabe di cui si parlava con dissonance pochi giorni fa? Avevo seguito la vicenda, ma la mia ignoranza mi aveva impedito di comprendere fino in fondo

[Rigel1]

Ok per il punto 1.

Sì, è proprio il criterio di Raabe (o almeno, una delle sue formulazioni).

[Paolo902]

Dopo un esame di topologia , ecco il punto 2.

Dunque, sappiamo che la serie è a termini positivi e che esiste $c$ tale che $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\ge c > 1$ per $n>=n_0$. Vogliamo provare che $\sum a_n$ è convergente.

Ragioniamo in maniera analoga alla dimostrazione dei più famosi criteri di convergenza (es. quello dalla radice). Abbiamo che $c>1$, quindi possiamo scrivere $c=1+epsilon$, per un certo $epsilon>0$.

Da $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\ge c $ per ogni $n \ge n_0$ segue $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\ge 1 + epsilon$ e riscrivendo opportunamente $na_n-(n+1)a_(n+1) \ge epsilon a_(n+1)$ e questa relazione vale $forall n \ge n_0$. Per confronto, otteniamo
$sum_(n=n_0)^(oo) na_n-(n+1)a_(n+1) \ge sum_(n=n_0)^(+oo) epsilon a_(n+1)$. Scrivendo i primi termini della serie a primo membro ci si accorge facilmente che trattasi di serie telescopica : $sum_(n=n_0)^(M) na_n-(n+1)a_(n+1) = n_0a_(n_0) - (M+1)a_M <= n_0 a_(n_0)$ perchè la serie è a termini positivi.

Quindi otteniamo che $sum_(n=n_0)^(M) a_(n+1) <= (n_0a_(n_0))/epsilon$. Ora però ho un dubbio su come concludere: mi verrebbe da dire che, mandando $M to +oo$, ho mostrato che il resto n-esimo della serie è infinitesimo e quindi la serie converge, ma c'è qualcosa che non mi piace: quell'$epsilon$ non è arbitrario...

Mah, magari mi sfugge qualcosa, sarà che sono un po' stanco...

P.S. Grazie per l'aiuto