Dimostrazione armonica del TFA

[gugo82]

Mi ricollego al recentissimo post di Martino, proponendo una dimostrazione carinissima del TFA basata sull'uso d'uno strumento classico dell'Analisi Armonica, cioè la formula d'inversione della trasformata di Fourier (in breve FIF).

***

Richiamiamo innanzitutto un paio di nozioni:

Sia [tex]$u\in L^1(\mathbb{R}; \mathbb{C})$[/tex].
Per ogni [tex]$\omega \in \mathbb{R}$[/tex] è finito l'integrale:

[tex]$\hat{u} (\omega):=\int_{-\infty}^{+\infty} u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t$[/tex],

e l'applicazione [tex]$\omega \mapsto \hat{u} (\omega)$[/tex] si chiama trasformata di Fourier di [tex]$u$[/tex].
La [tex]$\hat{u}$[/tex] è continua ed infinitesima all'infinito, nel senso che [tex]$\lim_{|\omega|\to +\infty} |\hat{u} (\omega)|=0$[/tex] (questo è il lemma di Riemann-Lebesgue).

L'operatore [tex]$\hat{}: L^1(\mathbb{R};\mathbb{C}) \to C_0(\mathbb{R};\mathbb{C})$[/tex] è lineare e continuo.
Vale il seguente risultato classico:

Sia [tex]$u\in L^1 (\mathbb{R} ;\mathbb{C})$[/tex].
Risulta:

(FIF) [tex]$u(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{u} (\omega)\ e^{\jmath \omega t}\ \text{d} \omega \quad \text{per q.o. $t\in \mathbb{R}$}$[/tex];

se inoltre [tex]$u$[/tex] è continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], allora la precedente uguaglianza vale identicamente per [tex]$t\in \mathbb{R}$[/tex].

La (FIF) è anche nota come formula d'inversione (della trasformata) di Fourier; ovviamente dalla (FIF) segue immediatamente che:

Sia [tex]$u\in L^1 (\mathbb{R} ;\mathbb{C})$[/tex].
Risulta:

(I) [tex]$u(t)=0\ \text{per q.o. $t\in \mathbb{R}$}\quad \Leftrightarrow \quad \hat{u} (\omega) =0\ \text{per q.o. $\omega\in \mathbb{R}$}$[/tex];

se inoltre [tex]$u$[/tex] è continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] allora le precedenti uguaglianze sono da intendersi valide identicamente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].

Perciò [tex]$\hat{}$[/tex] è un operatore iniettivo di [tex]$L^1(\mathbb{R};\mathbb{C}) \cap C(\mathbb{R};\mathbb{C})$[/tex] in [tex]$C_0(\mathbb{R};\mathbb{C})$[/tex].

***

Vediamo ora com'è possibile usare la (FIF) per provare il TFA:

Sia [tex]$p(z)$[/tex] un polinomio a coefficienti complessi di grado [tex]$\geq 1$[/tex].
Allora [tex]$p(z)$[/tex] ha almeno uno zero in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].

Dim.: Per assurdo, supponiamo che esista un polinomio [tex]$p(z)$[/tex] che non abbia alcuna radice in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] (cioè che non esista alcun [tex]$\zeta \in \mathbb{C}$[/tex] tale che [tex]$p(\zeta )=0$[/tex]).

1. Il polinomio [tex]$p(z)$[/tex] ha da avere grado [tex]$\geq 2$[/tex]*, dunque la funzione [tex]$u(z):=\tfrac{1}{p(z)}$[/tex] è continua ed olomorfa in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] e soddisfa una stima asintotica del tipo [tex]$|u(z)|=\text{O}( |z|^{-2})$[/tex] per [tex]$|z|\to +\infty$[/tex].

Consideriamo la funzione [tex]$u(t)$[/tex] che si ottiene restringendo la [tex]$u(z)$[/tex] all'asse reale: tale funzione è continua e di classe [tex]$C^\infty$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e soddisfa una stima del tipo [tex]$|u(t)|=\text{O} (|t|^{-2})$[/tex] per [tex]$|t|\to +\infty$[/tex], sicché [tex]$u\in L^1(\mathbb{R};\mathbb{C})\cap C(\mathbb{R};\mathbb{C})$[/tex]; conseguentemente se ne può calcolare la trasformata di Fourier di [tex]$\hat{u}(\omega)$[/tex], la quale risulta funzione di classe [tex]$C^\infty$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e tale che:

[tex]$u(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{u} (\omega)\ e^{\jmath \omega t}\ \text{d} \omega$[/tex]

per la (FIF).

2. Proviamo che [tex]$\hat{u} (\omega)=0$[/tex] per [tex]$\omega < 0$[/tex].

Fissato [tex]$\omega \leq 0$[/tex], consideriamo l'integrale complesso:

[tex]$\int_{+\partial D^+(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\ \text{d} z $[/tex]

ove [tex]$D^+(r):=\{ z\in \mathbb{C}:\ \text{$|z|0$} \}$[/tex] è il semicerchio aperto di centro [tex]$0$[/tex] e raggio [tex]$r>0$[/tex] situato nel semipiano [tex]$\text{Im} z>0$[/tex]: evidentemente tale integrale è nullo per il teorema integrale di Cauchy e però si ha:

[tex]$\int_{+\partial D^+(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\ \text{d} z = \int_{-r}^r u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t +\int_{+\Gamma(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z$[/tex],

in cui [tex]$\Gamma(r)$[/tex] è la semicirconferenza di centro [tex]$0$[/tex] e raggio [tex]$r$[/tex] nel semipiano [tex]$\text{Im} z\geq 0$[/tex], quindi:

[tex]$\int_{-r}^r u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t = -\int_{+\Gamma(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z$[/tex],

e perciò vale:

(A) [tex]$\hat{u}(\omega) = -\lim_{r\to +\infty}\int_{+\Gamma(r)} \frac{1}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z $[/tex].

Vista la (A) per calcolare [tex]$\hat{u}(\omega)$[/tex] basta calcolare il limite dell'integrale a terzo membro: per fare ciò basta sfruttare il secondo lemma di Jordan (quello dell'arco grande) nell'angolo di vertice [tex]$0$[/tex] ed ampiezza [tex]$\pi$[/tex] che corrisponde al semipiano [tex]$\text{Im} z>0$[/tex]; in particolare si trova:

[tex]$\lim_{r\to +\infty} \int_{+\Gamma(r)} \frac{1}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z = \jmath \pi \lim_{z\to \infty ,\text{Im} z >0} \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}$[/tex]

se il limite a secondo membro esiste ed è uniforme rispetto ad [tex]$\text{arg} z$[/tex].
Per farci un idea di quanto possa valere il limite, restringiamoci ai punti del tipo [tex]$z=\jmath s$[/tex] con [tex]$s>0$[/tex] (sono i punti del semiasse immaginario positivo): in tal modo, notato che:

[tex]$\left| \frac{\jmath s}{p(\jmath s)}\ e^{-\jmath \omega (\jmath s)} \right| = \frac{s}{|p(\jmath s)|}\ e^{-\omega s} \leq \frac{C}{s^{N-1}}\ e^{-\omega s}$[/tex]

per un'opportuna costante [tex]$C>0$[/tex], concludiamo facilmente:

[tex]$\lim_{s\to +\infty} \frac{\jmath s}{p(\jmath s)}\ e^{-\jmath \omega (\jmath s)} =0$[/tex];

pertanto è lecito congetturare la relazione:

[tex]$\lim_{z\to \infty,\ \text{Im} z>0} \frac{z}{p(z)}\ \ee^{-\jmath \omega z} =0$[/tex],

che adesso dimostreremo valida uniformemente rispetto ad [tex]$\text{arg} z$[/tex]. Infatti risulta:

[tex]$\left| \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\right| =\frac{|z|}{|p(z)|}\ e^{-\omega \text{Im} z}$[/tex]
[tex]$\leq \frac{C}{|z|^{N-1}}\ e^{-\omega \text{Im} z}$[/tex]
[tex]$\leq \frac{C}{|z|^{N-1}}$[/tex]

sicché:

[tex]$\sup_{\text{arg} z \in ]0,\pi [} \left| \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\right| \leq \frac{C}{|z|^{N-1}}$[/tex]

e perciò:

[tex]$\lim_{z\to \infty,\ \text{Im} z>0} \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z} =0\ \text{uniformemente risp. ad $\text{arg} z$}$[/tex].

Applicando il suddetto lemma di Jordan dalla (A) segue [tex]$\hat{u}(\omega)=0$[/tex] per [tex]$\omega \leq 0$[/tex].

3. In maniera del tutto analoga si dimostra che [tex]$\hat{u}(\omega) =0$[/tex] per [tex]$\omega >0$[/tex].

Basta integrare sulla frontiera del semicerchio [tex]$D^-(r) \coloneq \{ z\in \CC:\ \text{$|z|

4. Per continuità si ha anche [tex]$\hat{u}(0)=0$[/tex].

5. Pertanto [tex]$\hat{u}(\omega) =0$[/tex] identicamente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e, per la (I), si ha anche [tex]$u(t)=0$[/tex] identicamente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]. Ma ciò è palesemente assurdo in quanto [tex]$u(t)=\tfrac{1}{p(t)} \neq 0$[/tex] per ogni [tex]$t\in \mathbb{R}$[/tex].
Ne viene che ogni polinomio di grado [tex]$\geq 2$[/tex] ha da avere qualche zero in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], come volevamo. [tex]$\square$[/tex]


__________
* Infatti, se [tex]$p(z)$[/tex] fosse di primo grado, esso avrebbe un unico zero complesso, contro l'ipotesi.

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Risposte

dissonance

8 feb 2011, 17:05

"gugo82":
[tex]$e^{-\jmath \omega t}[/tex]

:-)

Sempre in mezzo agli ingegneri ultimamente, eh? Tra l'altro io aggiungerei, nelle ipotesi della FIF, che $hat{u}$ deve essere $L^1(RR)$. Però, non lo so, forse è una pignoleria... Anche perché nel seguito tu calcoli la FIF come integrale al valore principale. Di queste cose sono assai poco pratico.

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gugo82

8 feb 2011, 17:38

Vero, dissonance.
Tra l'altro, anche la normalizzazione che ho usato per la trsformata è presa a prestito da ciò che ho studiato per far lezione.

Per quanto riguarda la formula d'inversione, alla fin fine ho usato il valor principale ed avrei dovuto specificarlo meglio; ad ogni modo quello che uso è un risultato classico: praticamente per avere una buona formula d'inversione basta richiedere che [tex]$u \in L^1$[/tex], che [tex]$u$[/tex] non presenti troppe discontinuità e ce sia a variazione limitata (tutte ipotesi che sono soddisfatte nelle ipotesi d'assurdo, se non sbaglio).

Ad ogni modo, stasera vedo di scrivere tutto meglio.

[size=59]E comunque me lo lego al dito che ti è piaciuta più quella di Martino...[/size]

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dissonance

9 feb 2011, 23:45

Ho rivisto un po' il teorema di inversione della trasformata di Fourier. L'argomento che userei di default per dimostrarlo però mi pare inadeguato al contesto: io partirei dalla trasformata nello spazio di Schwartz per poi estendere a tutto $L^1$ con un argomento tipo lemma fondamentale del calcolo delle variazioni. Si capisce che, operando così, non c'è spazio per integrali al valore principale.

Forse, per dimostrare questo risultato classico che citi si deve ragionare in modo più old school: per $T>0$ si tronca $u$ all'intervallo $[-T/2, T/2)$, si sviluppa in serie di Fourier e poi si fa tendere $T$ ad infinito?

Magari se dici anche solo l'idea in due righe, perché mi sono interessato alla questione.

[size=59]E comunque me lo lego al dito che ti è piaciuta più quella di Martino...[/size]

:lol:

Dai Gugo non te la prendere, è che tu ci rifili tutti questi conti... C'è una citazione d'obbligo: purtroppo, a fare i conti io mi rompo i coglioni.

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gugo82

10 feb 2011, 00:16

La dimostrazione è tanto oldschool... Infatti il risultato è classico (credo sia attribuibile a Jordan, intorno al 1880 se non erro).
Ora non la ricordo, la dovrei recuperare; domani cerco e ti dico.

Ad ogni modo...E se ti dimostro che la (FIF) implica anche il teorema di Liouville?

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dissonance

10 feb 2011, 00:28

Il teorema di Liouville... Scrivi, scrivi, che sono cose interessanti.

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[dissonance]

"gugo82":
[tex]$e^{-\jmath \omega t}[/tex]

:-)

Sempre in mezzo agli ingegneri ultimamente, eh? Tra l'altro io aggiungerei, nelle ipotesi della FIF, che $hat{u}$ deve essere $L^1(RR)$. Però, non lo so, forse è una pignoleria... Anche perché nel seguito tu calcoli la FIF come integrale al valore principale. Di queste cose sono assai poco pratico.

[gugo82]

Vero, dissonance.
Tra l'altro, anche la normalizzazione che ho usato per la trsformata è presa a prestito da ciò che ho studiato per far lezione.

Per quanto riguarda la formula d'inversione, alla fin fine ho usato il valor principale ed avrei dovuto specificarlo meglio; ad ogni modo quello che uso è un risultato classico: praticamente per avere una buona formula d'inversione basta richiedere che [tex]$u \in L^1$[/tex], che [tex]$u$[/tex] non presenti troppe discontinuità e ce sia a variazione limitata (tutte ipotesi che sono soddisfatte nelle ipotesi d'assurdo, se non sbaglio).

Ad ogni modo, stasera vedo di scrivere tutto meglio.

[size=59]E comunque me lo lego al dito che ti è piaciuta più quella di Martino...[/size]

[dissonance]

Ho rivisto un po' il teorema di inversione della trasformata di Fourier. L'argomento che userei di default per dimostrarlo però mi pare inadeguato al contesto: io partirei dalla trasformata nello spazio di Schwartz per poi estendere a tutto $L^1$ con un argomento tipo lemma fondamentale del calcolo delle variazioni. Si capisce che, operando così, non c'è spazio per integrali al valore principale.

Forse, per dimostrare questo risultato classico che citi si deve ragionare in modo più old school: per $T>0$ si tronca $u$ all'intervallo $[-T/2, T/2)$, si sviluppa in serie di Fourier e poi si fa tendere $T$ ad infinito?

Magari se dici anche solo l'idea in due righe, perché mi sono interessato alla questione.

[size=59]E comunque me lo lego al dito che ti è piaciuta più quella di Martino...[/size]

:lol:

Dai Gugo non te la prendere, è che tu ci rifili tutti questi conti... C'è una citazione d'obbligo: purtroppo, a fare i conti io mi rompo i coglioni.

[gugo82]

La dimostrazione è tanto oldschool... Infatti il risultato è classico (credo sia attribuibile a Jordan, intorno al 1880 se non erro).
Ora non la ricordo, la dovrei recuperare; domani cerco e ti dico.

Ad ogni modo...E se ti dimostro che la (FIF) implica anche il teorema di Liouville?

[dissonance]

Il teorema di Liouville... Scrivi, scrivi, che sono cose interessanti.