Probabilità: Formula di Stirling
Tratto dal concorso per l'assegnazione di borse di studio dell'Indam per la magistrale aa 2007/08.
Ho la soluzione (mia). Ritengo l'esercizio interessante, ma più tecnico che concettuale. Comunque a me è piaciuto.
" Sia [tex](X_n)_n[/tex] una successione di variabili aleatorie reali indipendenti e identicamente distribuite, con legge esponenziale d parametro uno.
Sia [tex]S_n=X_1+...+X_n[/tex] e
[tex]U_n=\dfrac{S_n-\mathbb{E}(S_n)}{\sqrt{\text{\mathcal{Var}}(S_n)}}[/tex]
1) Mostrare che se [tex]f[/tex] è una funzione continua e limitata, allora vale
[tex]\mathbb{E}(f(U_n))=\dfrac{n^{n-\frac{1}{2}}e^{-n}}{(n-1)!}\displaystyle\int_{-\sqrt{n}}^{+\infty}f(z)\psi_n(z)e^{-\frac{z}{2}}dz[/tex]
dove [tex]\psi_n(z)[/tex] è una funzione limitata sui compatti e [tex]\displaystyle\lim_{ n\to+\infty}\psi_n(z)=1[/tex].
2) usando i risultati della 1), dedurre la formula di Stirling.
Ho la soluzione (mia). Ritengo l'esercizio interessante, ma più tecnico che concettuale. Comunque a me è piaciuto.
" Sia [tex](X_n)_n[/tex] una successione di variabili aleatorie reali indipendenti e identicamente distribuite, con legge esponenziale d parametro uno.
Sia [tex]S_n=X_1+...+X_n[/tex] e
[tex]U_n=\dfrac{S_n-\mathbb{E}(S_n)}{\sqrt{\text{\mathcal{Var}}(S_n)}}[/tex]
1) Mostrare che se [tex]f[/tex] è una funzione continua e limitata, allora vale
[tex]\mathbb{E}(f(U_n))=\dfrac{n^{n-\frac{1}{2}}e^{-n}}{(n-1)!}\displaystyle\int_{-\sqrt{n}}^{+\infty}f(z)\psi_n(z)e^{-\frac{z}{2}}dz[/tex]
dove [tex]\psi_n(z)[/tex] è una funzione limitata sui compatti e [tex]\displaystyle\lim_{ n\to+\infty}\psi_n(z)=1[/tex].
2) usando i risultati della 1), dedurre la formula di Stirling.
Risposte
[mod="dissonance"]Ciao fu, ho aggiunto un "\text{...}" per rendere leggibile il simbolo di varianza, solo che è sparito il calligrafico. [/mod]
P.S.: Ma le $X_n$ sono indipendenti?
P.S.: Ma le $X_n$ sono indipendenti?
si mi sono dimenticato di scrivere indipendenti e identicamente distribuite (iid) ora correggo
Senti fu visto che nessuno sembra interessato dammi un suggerimento per favore... Mi sono bloccato. Perché, ok, possiamo riscrivere
[tex]$U_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}[/tex]
e applicando il TLC
[tex]$\int_\Omega f\left(\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}\right)\, d\mathbb{P}\to \int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)e^{-{x^2\over 2}}}{\sqrt{2\pi}}\, dx[/tex].
E adesso...? Mah. Ma forse sono sulla strada sbagliata? Alternativamente si potrebbe applicare la formula di cambiamento di variabile a
[tex]$\int_\Omega f\left(\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}\right)\, d\mathbb{P}[/tex]
e darci dentro con i calcoli, io veramente non ci ho neanche provato (
).
[tex]$U_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}[/tex]
e applicando il TLC
[tex]$\int_\Omega f\left(\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}\right)\, d\mathbb{P}\to \int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)e^{-{x^2\over 2}}}{\sqrt{2\pi}}\, dx[/tex].
E adesso...? Mah. Ma forse sono sulla strada sbagliata? Alternativamente si potrebbe applicare la formula di cambiamento di variabile a
[tex]$\int_\Omega f\left(\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}\right)\, d\mathbb{P}[/tex]
e darci dentro con i calcoli, io veramente non ci ho neanche provato (
).
fino alla scrittura della $U_n$ ci sei.
Per il punto uno prova a calcolare $\mathbb{P}(U_n<=t)$
per risolvere e trovare la formula di Stirling devi scegliere in modo furbo la $f$, in modo che rispetti le ipotesi del punto 1) e poi usare il TLC come hai fatto te... (scegli la $f$ in modo da ottenere un numero noto, ricordo che l'approssimazione da ottenere è
$n!\sim e^{-n}n^n \sqrt{\pi}$)
Se proprio nessuno ci riesce metterò i dettagli della soluzione, ma non è ancora il tempo
Per il punto uno prova a calcolare $\mathbb{P}(U_n<=t)$
per risolvere e trovare la formula di Stirling devi scegliere in modo furbo la $f$, in modo che rispetti le ipotesi del punto 1) e poi usare il TLC come hai fatto te... (scegli la $f$ in modo da ottenere un numero noto, ricordo che l'approssimazione da ottenere è
$n!\sim e^{-n}n^n \sqrt{\pi}$)
Se proprio nessuno ci riesce metterò i dettagli della soluzione, ma non è ancora il tempo
Aggiungo solo uno spunto:
$U_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{Var(S_n)}};\quad S_n\sim \Gamma(n,1)$
$E(f(U_n))=\int_{R^+}f(\frac{z-n}{\sqrt{n}})\frac{1}{\Gamma(n)}(\frac{z-n}{\sqrt{n}})^{n-1}e^{-\frac{z-n}{\sqrt{n}}}dz$
$x=\frac{z-n}{\sqrt{n}}$
$E(f(U_n))=\int_{-\sqrt{n}}^{+\infty}f(x)\frac{1}{\Gamma(n)}(x)^{n-1}e^{-x}\frac{1}{\sqrt{n}}dx$
$E(f(U_n))=\int_{-\sqrt{n}}^{+\infty}f(x)\frac{1}{(n-1)!}(x)^{n-1}e^{-\frac{x}{2}}e^{-\frac{x}{2}}\frac{1}{\sqrt{n}}dx$
$E(f(U_n))=\frac{1}{(n-1)!}\frac{1}{\sqrt{n}}\int_{-\sqrt{n}}^{+\infty}f(x)(x)^{n-1}e^{-\frac{x}{2}}e^{-\frac{x}{2}}dx$
I conti mi sembrano giusti...spero!
$U_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{Var(S_n)}};\quad S_n\sim \Gamma(n,1)$
$E(f(U_n))=\int_{R^+}f(\frac{z-n}{\sqrt{n}})\frac{1}{\Gamma(n)}(\frac{z-n}{\sqrt{n}})^{n-1}e^{-\frac{z-n}{\sqrt{n}}}dz$
$x=\frac{z-n}{\sqrt{n}}$
$E(f(U_n))=\int_{-\sqrt{n}}^{+\infty}f(x)\frac{1}{\Gamma(n)}(x)^{n-1}e^{-x}\frac{1}{\sqrt{n}}dx$
$E(f(U_n))=\int_{-\sqrt{n}}^{+\infty}f(x)\frac{1}{(n-1)!}(x)^{n-1}e^{-\frac{x}{2}}e^{-\frac{x}{2}}\frac{1}{\sqrt{n}}dx$
$E(f(U_n))=\frac{1}{(n-1)!}\frac{1}{\sqrt{n}}\int_{-\sqrt{n}}^{+\infty}f(x)(x)^{n-1}e^{-\frac{x}{2}}e^{-\frac{x}{2}}dx$
I conti mi sembrano giusti...spero!
Scusa Andrea, non capisco un passaggio...
$E(f(U_n))=int f(frac{S_n - n}{sqrt{n}}) dP=int_0^infty f(frac{x-n}{sqrt(n)})frac{x^{n-1}e^{-x}}{Gamma(n)} dx$
...no? Mi sto clamorosamente sbagliando di nuovo? [size=75]già mi ero allegramente scordato dell'esistenza della distribuzione Gamma...
[/size]
"Andrea2976":Io direi
$E(f(U_n))=\int_{R^+}f(\frac{z-n}{\sqrt{n}})\frac{1}{\Gamma(n)}(\frac{z-n}{\sqrt{n}})^{n-1}e^{-\frac{z-n}{\sqrt{n}}}dz$
$E(f(U_n))=int f(frac{S_n - n}{sqrt{n}}) dP=int_0^infty f(frac{x-n}{sqrt(n)})frac{x^{n-1}e^{-x}}{Gamma(n)} dx$
...no? Mi sto clamorosamente sbagliando di nuovo? [size=75]già mi ero allegramente scordato dell'esistenza della distribuzione Gamma...
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Ciao Dissonance, non capisco se il tuo dubbio sia di tipo teorico oppure nella scrittura della funzione Gamma.
No no proprio a livello di conti:
formula tua: $E(f(U_n))= \int_{R^+}f(\frac{z-n}{\sqrt{n}})\frac{1}{\Gamma(n)}(\frac{z-n}{\sqrt{n}})^{n-1}e^{-\frac{z-n}{\sqrt{n}}}dz$;
formula mia: $E(f(U_n))=int_{RR^+} f(frac{x-n}{sqrt(n)})frac{x^{n-1}e^{-x}}{Gamma(n)} dx$;
perché sono diverse...? cosa sto sbagliando?
formula tua: $E(f(U_n))= \int_{R^+}f(\frac{z-n}{\sqrt{n}})\frac{1}{\Gamma(n)}(\frac{z-n}{\sqrt{n}})^{n-1}e^{-\frac{z-n}{\sqrt{n}}}dz$;
formula mia: $E(f(U_n))=int_{RR^+} f(frac{x-n}{sqrt(n)})frac{x^{n-1}e^{-x}}{Gamma(n)} dx$;
perché sono diverse...? cosa sto sbagliando?
Sono io che mi son sbagliato, hai ragione tu. Fare qualche conto mentre si lavora su altro non è stato proprio producente.
Penso che poi la domanda al quesito segua facendo direttamente i conti, la seconda parte richiede solo un po' di attenzione con i passaggi al limite.
Penso che poi la domanda al quesito segua facendo direttamente i conti, la seconda parte richiede solo un po' di attenzione con i passaggi al limite.
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