Vari problemi di preparazione alla SNS

[Albert Wesker 27]

Buonasera a tutti voi.
Ho iniziato recentemente a freguentare un corso che si prefigge lo scopo di preparare gli studenti ai test di ingresso alle varie università di eccellenza. Mi sono stati assegnati degli esercizi che non riesco a risolvere. Li propongo qui via via sperando di ottenere da voi suggerimenti (prego quindi di mettere eventuali soluzioni in spoier; vorrei evitare di leggerle prima di averne trovata una mia) e sperando che possano tornare comodi anche ad altri.

Eccone uno:

Per una lotteria sono stati stampati $5^5$ biglietti diversi, ognuno dei quali riporta $5$ numeri distinti, presi nell'insime $1...90$. Si sa che due biglietti qualunque hanno sempre almeno un numero in comune. Dimostra che esistono quattro numeri tali che ogni biglietto ne riporta almeno uno.

PS. spero questa sia la sezione adeguata (ero indeciso con "Giochi matematici"). Se non lo fosse, lascio il compito ad un moderatore di spostarla chiedendo scusa anticipatamente

[vict85]

I problemi di questo tipo alle volte sono messi in superiori ma penso che possa andare. Dovrei pensarci un minimo e ora non ne ho tempo. Comunque esiste senza dubbio un insieme che ha quella caratteristica con 5 o meno elementi. Inoltre $90*89*88*87*86 < 5*125 = 5*5^3 = 5^4$.

[Albert Wesker 27]

Cercavo con qualche considerazione di andare verso il principio dei cassetti ma non mi muovo... Idee?