Funzioni $C^oo$ che sono polinomi

[gugo82]

Propongo un esercizio che mi è stato proposto quest'estate.
Se non ricordo male è stato proposto anche tanto tempo fa qui, ma non fu trovata una risposta (se la memoria non mi inganna!).
Dovrebbe essere un "classico", insomma.

***

Problema:

1. Sia [tex]$f\in C^\infty (\mathbb{R})$[/tex] tale che per ogni [tex]$x\in \mathbb{N}$[/tex] esiste un [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$f^{(n)}(x)=0$[/tex].
Dimostrare che [tex]$f$[/tex] è un polinomio.

2. Dimostrare inoltre che se in 1 all'ipotesi [tex]$f\in C^\infty (\mathbb{R})$[/tex] si sostituisce quella più debole [tex]$f\in C^N(\mathbb{R})$[/tex] per qualche [tex]$N\in \mathbb{N}$[/tex], allora il risultato ottenuto in 1 non è più vero (per quanto grande possa essere [tex]$N$[/tex]).

***

Ovviamente il teorema inverso è vero (infatti se [tex]$f$[/tex] è un polinomio, esso ha tutte le derivate nulle, da un certo indice in poi), quindi la risposta a questo problema fornisce una caratterizzazione dei polinomi reali.

[gugo82]

Per quanto riguarda 1, avevo avuto l'idea di usare il lemma di Baire.
Infatti, se per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] poniamo [tex]$F_n:=\big( f^{(n)}\big)^{-1} (0)=\{ x\in \mathbb{R}:\ f^{(n)}(x)=0\}$[/tex], allora [tex]$F_n$[/tex] è chiuso e risulta [tex]$\bigcup_{n\in \mathbb{N}} F_n=\mathbb{R}$[/tex] per l'ipotesi; il lemma di Baire implica che esiste almeno un [tex]$F_\nu$[/tex] che non è raro, ossia che [tex]$F_\nu$[/tex] ha interno non vuoto.
Detto [tex]$I=]a,b[$[/tex] un intervallo in [tex]$F_\nu$[/tex], evidentemente [tex]$f^{(\nu)}\Big|_I =0$[/tex], quindi [tex]$f$[/tex] o è un polinomio di grado [tex]$\nu -1$[/tex] (se [tex]$\nu \geq 1$[/tex]) oppure è nulla (se [tex]$\nu =0$[/tex]) in [tex]$\overline{I}$[/tex].

Tuttavia da qui non so come uscire: infatti esistono funzioni [tex]$C^\infty$[/tex] che si annullano su interi intervalli senza però essere ovunque nulle.

[Rigel1]

Questo esercizio mi era stato proposto diverso tempo fa; riporto la soluzione che avevo trovato allora per il punto 1).

1) Sia $F_n = \{x \in \mathbb{R}; f^{(n)}(x) = 0\}$, $n\in\mathbb{N}$.
Gli $F_n$ sono chiusi e, per ipotesi, $\cup_n F_n = \mathbb{R}$.
Per il Lemma di Baire almeno uno degli $F_n$ ha interno non vuoto.

2) Sia $A_n = "int"(F_n)$, dove "int" denota l'insieme dei punti interni, e sia $A = \cup_n A_n$.
Allora $A = \mathbb{R}$. Se così non fosse, possiamo applicare il procedimento del punto 1) restringendoci all'insieme chiuso e non vuoto $C = \mathbb{R}\setminus A$, e trovando così un intervallo aperto contenuto in $C$ sul quale una derivata è identicamente nulla. Ma questo implica che tale intervallo è contenuto in $A$, assurdo.

3) E' chiaro che $A_n \supset A_{n-1}$ per ogni $n\geq 1$.
Sia $B_n = A_n \setminus A_{n-1}$, $n\geq 1$. I $B_n$ sono disgiunti a coppie.
Inoltre i $B_n$ sono aperti.
Infatti, se $I$ è un intervallo aperto contenuto in $A_{n-1}$, e se $I\cap A_n\ne\emptyset$, allora $I$ è contenuto in $A_n$ (infatti su $I$ si ha $f^{(n)}$ costante; d'altra parte, $f^{(n)} = 0$ su $I\cap A_n$).
Di conseguenza, le componenti connesse di $A_{n-1}$ sono anche componenti connesse di $A_n$, e $B_n$ è dunque l'unione delle componenti connesse di $A_n$ che non siano anche componenti connesse di $A_{n-1}$.


4) Dai punti 2) e 3) concludiamo che $\cup_n B_n = \mathbb{R}$, con i $B_n$ aperti e disgiunti a coppie.
Chiaramente esiste $m\in\mathbb{N}$ tale che $B_m\ne\emptyset$.
Sia $B =\bigcup_{n\ne m} B_n$.
$B$ è aperto, $B\cap B_m = \emptyset$, e $B\cup B_m = \mathbb{R}$.
Poiché $\mathbb{R}$ è un aperto connesso, deve necessariamente essere $B = \emptyset$. Di conseguenza $B_m = \R$ e $B_n = \emptyset$ per ogni $n\ne m$, vale a dire $f^{(m)} = 0$ su tutto $\R$.
Concludiamo quindi che $f$ è un polinomio di grado $m-1$.

[Rigel1]

Non mi è chiaro come sia da intendere la seconda domanda.

Se infatti le ipotesi sono
2'. $f\in C^N$, e per ogni $x$ esiste $n\in \{0,\ldots,N\}$ tale che $f^{(n)}(x) = 0$;
allora mi sembra che si possa ancora concludere che $f$ è un polinomio.

Viceversa, se si suppone
2''. $f\in C^N$, e per ogni $x$ esiste $n\in\mathbb{N}$ tale che $f$ è derivabile $n$ volte in $x$ e $f^{(n)}(x) = 0$;
allora si costruiscono facilmente delle funzioni non polinomiali soddisfacenti 2''.

[gugo82]

@Rigel: Quando ho un po' di tempo mi leggo per bene la soluzione.

Per quanto riguarda il testo di 2, quello che ho io segnato è il seguente:

Show that the above claim is not true if [tex]$f\in C^{2010} (\mathbb{R})$[/tex]

e ricordo bene che l'indice [tex]$2010$[/tex] era scelto in modo del tutto arbitrario (infatti si scherzava sul fatto che questo problema potesse essere riproposto come nuovo ogni anno, semplicemente cambiando l'indice della classe cui appartiene [tex]$f$[/tex]).

Tuttavia mi pare che il problema d'interpretazione rimanga.

[vict85]

Come nel caso di Rigel anche io mi ero messo a cercare di risolverlo. La mia risposta finale è su un forum e quindi faccio che mettere il link alla discussione.

http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... &sk=t&sd=a
La mia risposta è a pagina 2.

In realtà penso che andrebbe riscritta per bene.

Riguardo al punto 2 ci devo pensare...

[Andrea2976]

Scusate l'intromissione ma non sarebbe più semplice procedere per assurdo per il punto 1?

Supposto che $f$ non sia un polinomio essendo $C^{infty}(R)$ il suo sviluppo di Taylor (per ogni $x\in R$) ammetterebbe tutti coefficienti non nulli altrimenti sarebbe un polinomio, giungendo dall'ipotesi all'assurdo cercato.

Devo dire che sono abbastanza arrugginito su queste cose, però confido in qualche smentita per confutare i miei dubbi.

[Rigel1]

Il tuo argomento non funziona nemmeno nell'ipotesi che $f$ sia analitica.
Infatti, dire che $f$ è analitica ma non un polinomio significa che un suo sviluppo in serie (con un qualsiasi centro) ammette infiniti coefficienti non nulli, ma può tranquillamente averne infiniti nulli (e, in particolare, almeno uno).

(Aggiungi poi il fatto che, per ipotesi, $f$ è solo di classe $C^{\infty}$, quindi manco è detto che sia analitica...)

[panurge]

Premetto che in analisi sono ancora più scarso che in qualunque altra disciplina matematica. Ciò nonostante non capisco bene dove stia la difficoltà... Prima che qualcuno mi faccia notare qualche sottile controesempio o qualche oscura implicazione delle ipotesi, riporto la mia proto-dimostrazione del punto 1.

Non sono sicuro che sia chiara (e nemmeno che sia giusta), ma appena ho letto il testo del problema ho pensato "beh, non sembra difficile" e mi è venuta in mente questa maniera di procedere... Poi ho letto i tentativi fatti da voi, che tirate in ballo lemmi strani, considerazioni topologiche, eccetera, e ho pensato che probabilmente stavo tralasciando qualche particolare letale. Però dai, fatemi provare:

Dal momento che [tex]f^{n}(x) = 0[/tex], allora integrandola [tex]n[/tex] volte rispetto a [tex]x[/tex], dovremmo ottenere una cosa che è uguale a [tex]f[/tex] a meno di un tot di parametri... dunque abbiamo

[tex]\int \:\: 0 \:\: dx = c_1[/tex]

[tex]\int \int \:\: 0 \:\: dx^2 = \int c_1 dx = c_1 x + c_2[/tex]

[tex]...[/tex]

[tex]\int ... \int \:\: 0 \:\: dx^{n} = C_1 x^{n-1} + ... + C_{n-2} x + C_{n-1}[/tex]

Dove nell'ultima riga ho scritto i parametri in maiuscolo per distinguerli da quelli iniziali (infatti in tutte le integrazioni i vari [tex]c_i[/tex] verrebbero moltiplicati per gli esponenti delle relative [tex]x[/tex] e, visto che non ci interessa trascinarci dietro tutti i conti, ho fatto che rinominarli)

Dunque il risultato è che abbiamo è una espressione che corrisponde a un polinomio per qualunque valore associamo ai vari parametri.

Siete liberi di massacrarmi...

[Rigel1]

"gugo82":
Sia [tex]$f\in C^\infty (\mathbb{R})$[/tex] tale che per ogni [tex]$x\in \mathbb{N}$[/tex] esiste un [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$f^{(n)}(x)=0$[/tex].

Questa ipotesi è molto diversa da quella che hai usato tu; riporto qui la tua ipotesi per poter meglio fare un confronto:

Esiste $n\in\mathbb{N}$ tale che $f^{(n)}(x) = 0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$

P.S.: il problema non è banale.

[panurge]

Aahh! Chiarissimo...mi sembrava strano in effetti
Grazie rigel per aver fatto chiarezza.