[EX] Un criterio di convergenza per serie
Un esercizio semplice per chi studia Analisi I.
***
Esercizio:
Sia [tex]\sum a_n[/tex] una serie di numeri reali positivi.
1. Dimostrare che:
***
Esercizio:
Sia [tex]\sum a_n[/tex] una serie di numeri reali positivi.
1. Dimostrare che:
- i) se risulta:
(*) [tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln \left( \frac{1}{a_n}\right)}{\ln n} =\lambda >1$[/tex]
allora la serie [tex]\sum a_n[/tex] è convergente;
ii) se risulta:
(**) [tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln \left( \frac{1}{a_n}\right)}{\ln n} =\lambda \leq 1$[/tex]
allora la serie [tex]\sum a_n[/tex] è divergente.[/list:u:2tx798rc]
2. Stabilire se l'implicazione i rimane valida quando alla (*) si sostituisca la condizione più debole:
(§) [tex]$\liminf_{n\to +\infty} \frac{\ln \left( \frac{1}{a_n}\right)}{\ln n} =\lambda >1$[/tex].
Infine, stabilire se l'implicazione ii risulta vera qualora alla (**) si sostituisca la condizione più debole:
(§§) [tex]$\limsup_{n\to +\infty} \frac{\ln \left( \frac{1}{a_n}\right)}{\ln n} =\lambda \leq 1$[/tex].
Risposte
"gugo82":
1. Dimostrare che:
i) se risulta:
(*) [tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln \left( \frac{1}{a_n}\right)}{\ln n} =\lambda >1$[/tex]
allora la serie [tex]\sum a_n[/tex] è convergente;
Per questo punto ho iniziato a ragionare così:
Per definizione di limite esisterà $n_0$ tale che $AA n>n_0$ si ha [tex]$\ln (\frac {1}{a_n})< (\lambda+\epsilon) \ln(n)$[/tex] , $ AA \epsilon>0 $.
Per brevità pongo $q=\lambda+\epsilon$ che è maggiore di 1, quindi abbiamo:
[tex]$\ln (\frac {1}{a_n})< \ln(n^q)$[/tex] che equivale a [tex]\frac {1}{a_n}
Ma a questo punto mi blocco perchè non si può dire nulla sul carattere della serie [tex]\sum a_n[/tex], dato che [tex]\sum \frac {1}{n^q}[/tex] è convergente
Se vuoi dimostrare che $\sum a_n$ è convergente ti servirà una disuguaglianza opposta, del tipo
$\log(1/a_n) > \log(n^p)$ definitivamente,
dove ragionevolmente uno sceglierà $p = \lambda - \epsilon > 1$...
$\log(1/a_n) > \log(n^p)$ definitivamente,
dove ragionevolmente uno sceglierà $p = \lambda - \epsilon > 1$...
Ah è vero, e quindi da lì si ricava $a_n<\frac {1}{n^p}$.
Da qui allora $ \sum a_n $ è convergente, sempre supponendo che $p$ sia maggiore di 1
Da qui allora $ \sum a_n $ è convergente, sempre supponendo che $p$ sia maggiore di 1
Visto che $\lambda$ è $>1$, basterà scegliere $\epsilon \in (0,\lambda -1)$ per avere $p>1$.
Ok. Bravo Alxxx28! 
Meno formalmente, si poteva ragionare così.
Rimangono un paio di questioni in sospeso, però.
Cosa accade in i se [tex]$\lambda =+\infty$[/tex]?
Può essere [tex]$\lambda <0$[/tex] in ii? E cosa accade in ii se [tex]$\lambda=0$[/tex]?
Risolte queste cosette, cerchiamo di passare al quesito 2 (che non è molto diverso).
Meno formalmente, si poteva ragionare così.
Rimangono un paio di questioni in sospeso, però.
Cosa accade in i se [tex]$\lambda =+\infty$[/tex]?
Può essere [tex]$\lambda <0$[/tex] in ii? E cosa accade in ii se [tex]$\lambda=0$[/tex]?
Risolte queste cosette, cerchiamo di passare al quesito 2 (che non è molto diverso).
"gugo82":
Cosa accade in i se [tex]$\lambda =+\infty$[/tex]?
Se [tex]\lambda= + \infty[/tex] :
esisterà $\bar{n}\in NN$ tale che $AA n> \bar{n}$ risulti [tex]$\frac{\ln \left( \frac{1}{a_n}\right)}{\ln n} > \epsilon$[/tex], per ogni $\epsilon>0$,
da cui ricaviamo [tex]a_n< \frac{1}{n^\epsilon}[/tex] e quindi la serie [tex]\sum a_n[/tex] converge se e solo se $\epsilon > 1$.
Per gli altri punti ci tornerò in seguito
L'idea è buona, ma la stesura un po' meno.
Devi fare più attenzione quando maneggi i quantificatori.
In particolare, il [tex]$\forall \varepsilon >0$[/tex] viene prima dello [tex]$\exists \bar{n}$[/tex] nella definizione di limite: ciò vuol dire che ogni volta che fissi [tex]$\varepsilon$[/tex] trovi (almeno) un [tex]$\bar{n}$[/tex] in modo che la disuguaglianza sia verificata per il valore [tex]$\varepsilon$[/tex] fissato; ma, in generale, non è detto che esista un [tex]$\bar{n}$[/tex] che vada bene per ogni [tex]$\varepsilon$[/tex].
In altre parole, i quantificatori [tex]$\forall$[/tex] ed [tex]$\exists$[/tex] non commutano.
Un discorso fatto meglio è il seguente.
Devi fare più attenzione quando maneggi i quantificatori.
In particolare, il [tex]$\forall \varepsilon >0$[/tex] viene prima dello [tex]$\exists \bar{n}$[/tex] nella definizione di limite: ciò vuol dire che ogni volta che fissi [tex]$\varepsilon$[/tex] trovi (almeno) un [tex]$\bar{n}$[/tex] in modo che la disuguaglianza sia verificata per il valore [tex]$\varepsilon$[/tex] fissato; ma, in generale, non è detto che esista un [tex]$\bar{n}$[/tex] che vada bene per ogni [tex]$\varepsilon$[/tex].
In altre parole, i quantificatori [tex]$\forall$[/tex] ed [tex]$\exists$[/tex] non commutano.
Un discorso fatto meglio è il seguente.
Si è vero, grazie per la correzione gugo!
Ricordando un famoso (e famigerato) esercizio del Rudin, Analisi Reale e Complessa (se non ricordo male l'ultimo del secondo capitolo, quello in cui si dichiarava la presenza di un errore nella dimostrazione del teorema di rappresentazione di Riesz), aggiungo un punto all'esercizio.
***
3. Il testo di 1-ii è sbagliato. Trovare l'errore e produrre un controesempio.
Conseguentemente, modificare l'enunciato e dimostrarlo; fare lo stesso con la seconda parte di 2.
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3. Il testo di 1-ii è sbagliato. Trovare l'errore e produrre un controesempio.
Conseguentemente, modificare l'enunciato e dimostrarlo; fare lo stesso con la seconda parte di 2.
Bella questa! Quando leggeremo in fondo ad un libro "A pagina tot c'è un errore: è un utile esercizio per il lettore trovarlo e produrre un controesempio"?
@dissonance: Ho aggiornato il post... Se vuoi vedere da dove ho preso ispirazione, rileggi. 
Ma a quale edizione del Rudin ti riferisci?
@Rigel: All'edizione italiana della Boringhieri, che (se non erro) era tradotta dalla prima edizione inglese.
Dovrei averne una fotocopia da qualche parte; quando la trovo in mezzo allo tsunami di carte che ho sulla scrivania, saprò darti qualche indicazione in più.
Dovrei averne una fotocopia da qualche parte; quando la trovo in mezzo allo tsunami di carte che ho sulla scrivania, saprò darti qualche indicazione in più.
Ah, capito.
Ma la Boringhieri ha tradotto anche il Real and Complex Analysis?
Io mi ricordo solo di una traduzione dei Principles.
(Io naturalmente ho le mie brave edizioni McGraw-Hill international di entrambi; in generale, anche potendo scegliere fra originale in inglese e traduzione in italiano, preferisco l'originale...)
Ma la Boringhieri ha tradotto anche il Real and Complex Analysis?
Io mi ricordo solo di una traduzione dei Principles.
(Io naturalmente ho le mie brave edizioni McGraw-Hill international di entrambi; in generale, anche potendo scegliere fra originale in inglese e traduzione in italiano, preferisco l'originale...)
[OT]
@Rigel: La prima (ed unica) edizione di Analisi Reale e Complessa della Boringhieri è datata 1974; io ne ho in fotocopia una ristampa del 1991. Tale edizione è tradotta dall'originale inglese Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, del 1966 che credo sia la prima edizione del testo (oggi è arrivato alla terza edizione).
La traduzione è di Maria Luisa ed Edoardo Vesentini.
L'esercizio cui mi riferivo è il 21 del capitolo 2, il cui testo è:
[/OT]
@Rigel: La prima (ed unica) edizione di Analisi Reale e Complessa della Boringhieri è datata 1974; io ne ho in fotocopia una ristampa del 1991. Tale edizione è tradotta dall'originale inglese Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, del 1966 che credo sia la prima edizione del testo (oggi è arrivato alla terza edizione).
La traduzione è di Maria Luisa ed Edoardo Vesentini.
L'esercizio cui mi riferivo è il 21 del capitolo 2, il cui testo è:
21. Vi è un errore nel calcolo finale in 2.14 [i.e. alla fine del Teorema di rappresentazione di Riesz, n.d. Gugo]. Trovarlo.
Dimostrare che [tex]$\mu (K)\leq \Lambda (\Sigma h_i)$[/tex] con una variante del metodo usato nel passo (2) (sostituire a [tex]$1/2$[/tex] un [tex]$\alpha <1$[/tex], facendo tendere [tex]$\alpha$[/tex] ad [tex]$1$[/tex]) e mostrare che il calcolo seguente è corretto
[tex]$\Lambda f=\sum_{i=1}^n \Lamda (h_if) \leq \sum_{i=1}^n (y_i+\varepsilon) \Lambda h_i=$[/tex]
[tex]$=\sum_{i=1}^n (|a|+y_i+\varepsilon) \Lambda h_i -|a|\sum_{i=1}^n \Lambda h_i\leq$[/tex]
[tex]$\leq \sum_{i=1}^n (|a|+y_i+\varepsilon)\ [\mu (E_i)+\varepsilon/n ] - |a|\mu (K)=$[/tex]
[tex]$=\sum_{i=1}^n (y_i+\varepsilon) \mu (E_i) +2\varepsilon \mu (K) +\tfrac{\varepsilon}{n} \sum_{i=1}^n (|a|+y_i+\varepsilon)\leq$[/tex]
[tex]$\leq \int_X f\ \text{d} \mu +\varepsilon [2\mu (K) +|a|+b+\varepsilon]$[/tex].
[/OT]
Hai ragione!
Adesso che me lo dici me la sono ricordata anche io quell'edizione.
Non l'ho però mai letta perché ho sempre studiato sulla terza edizione inglese.
Forse l'avevo consultata perché, se non ricordo male, la teoria della derivazione veniva fatta "vecchio stile" (cioè passando per le funzioni monotone e a variazione limitata) anziché attraverso la derivata di misure.
Adesso che me lo dici me la sono ricordata anche io quell'edizione.
Non l'ho però mai letta perché ho sempre studiato sulla terza edizione inglese.
Forse l'avevo consultata perché, se non ricordo male, la teoria della derivazione veniva fatta "vecchio stile" (cioè passando per le funzioni monotone e a variazione limitata) anziché attraverso la derivata di misure.
Cerco di chiudere la faccenda.
Innanzitutto, risolvo la:
L'errore in 1-ii è che bisogna specificare [tex]$\lambda\neq 1$[/tex].
Infatti prese le serie con addendi [tex]a_n:=\frac{1}{n\ln n}[/tex] e [tex]b_n:=\frac{1}{n\ln^2 n}[/tex], si ha:
[tex]$\lim_n \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n} = \lim_n \frac{\ln (n\ln n)}{\ln n} =\lim_n \frac{\ln n +\ln \ln n}{\ln n}=1$[/tex]
[tex]$\lim_n \frac{\ln \frac{1}{b_n}}{\ln n} = \lim_n \frac{\ln (n\ln^2 n)}{\ln n} =\lim_n \frac{\ln n +2\ln \ln n}{\ln n}=1$[/tex]
epperò la serie [tex]\sum a_n[/tex] diverge e la serie [tex]\sum b_n[/tex] converge, come si può dimostrare applicando il criterio di condensazione di Cauchy.
Che ci dovesse essere qualche caso dubbio era preventivabile: infatti non esiste alcun criterio in grado di stabilire la convergenza/divergenza di una serie senza eccezioni.
Innanzitutto, risolvo la:
"gugo82":
3. Il testo di 1-ii è sbagliato. Trovare l'errore e produrre un controesempio.
L'errore in 1-ii è che bisogna specificare [tex]$\lambda\neq 1$[/tex].
Infatti prese le serie con addendi [tex]a_n:=\frac{1}{n\ln n}[/tex] e [tex]b_n:=\frac{1}{n\ln^2 n}[/tex], si ha:
[tex]$\lim_n \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n} = \lim_n \frac{\ln (n\ln n)}{\ln n} =\lim_n \frac{\ln n +\ln \ln n}{\ln n}=1$[/tex]
[tex]$\lim_n \frac{\ln \frac{1}{b_n}}{\ln n} = \lim_n \frac{\ln (n\ln^2 n)}{\ln n} =\lim_n \frac{\ln n +2\ln \ln n}{\ln n}=1$[/tex]
epperò la serie [tex]\sum a_n[/tex] diverge e la serie [tex]\sum b_n[/tex] converge, come si può dimostrare applicando il criterio di condensazione di Cauchy.
Che ci dovesse essere qualche caso dubbio era preventivabile: infatti non esiste alcun criterio in grado di stabilire la convergenza/divergenza di una serie senza eccezioni.
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