Sottospazi invarianti
Dopo averne discusso con l'amico maurer, abbiamo deciso di proporlo qui. E' un bell'esercizio.
Esercizio. Sia [tex]A[/tex] la seguente matrice in [tex]\mathbb{R}^{n,n}[/tex]:
[tex]A:= \left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1
\end{array}
\right)[/tex]
Si trovino tutti i sottospazi di [tex]\mathbb{R}^{n}[/tex] che sono invarianti per [tex]A[/tex], i.e. tali che [tex]A(V) \subseteq V[/tex].
Fonte: Test di ammissione IV Anno, a.a. 2007-08, Scuola Normale Superiore.
Hint:
Esercizio. Sia [tex]A[/tex] la seguente matrice in [tex]\mathbb{R}^{n,n}[/tex]:
[tex]A:= \left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1
\end{array}
\right)[/tex]
Si trovino tutti i sottospazi di [tex]\mathbb{R}^{n}[/tex] che sono invarianti per [tex]A[/tex], i.e. tali che [tex]A(V) \subseteq V[/tex].
Fonte: Test di ammissione IV Anno, a.a. 2007-08, Scuola Normale Superiore.
Hint:
Risposte
vorrei porre una domanda oltre il quesito, se posso:
la notazione $A(V)$ per cosa starebbe?
se $A$ è una matrice non capisco come può essere tratta come un'applicazione...
E' una domanda, non in merito ad una possibile risposta al quesito. Se volete eliminarla, nessun problema
la notazione $A(V)$ per cosa starebbe?
se $A$ è una matrice non capisco come può essere tratta come un'applicazione...
E' una domanda, non in merito ad una possibile risposta al quesito. Se volete eliminarla, nessun problema
Rispondo io. Semplicemente, [tex]A[/tex] viene pensata come l'applicazione lineare [tex]f : \mathbb R^n \to \mathbb R^n[/tex] la cui matrice associata rispetto alla base canonica è [tex]A[/tex]. Spesso i due concetti vengono identificati e, anche se non è del tutto salubre come operazione, è molto spesso comoda.
"maurer":
Rispondo io. Semplicemente, [tex]A[/tex] viene pensata come l'applicazione lineare [tex]f : \mathbb R^n \to \mathbb R^n[/tex] la cui matrice associata rispetto alla base canonica è [tex]A[/tex]. Spesso i due concetti vengono identificati e, anche se non è del tutto salubre come operazione, è molto spesso comoda.
ah ok, non l'avevo mai vista utilizzata in questo modo la matrice associata all'applicazione lineare.
ti ringrazio molto della risposta
Si penso che si tratti solo di usare Jordan in effetti. Ma la matrice è da intendersi come "riferita alla base canonica"?
Sì. Ma vi invito a fare esplicitamente i conti. Naturalmente dovrete dimostrare anche di aver trovato proprio tutti i sottospazi (che poi è la parte interessante!)...
"maurer":
Naturalmente dovrete dimostrare anche di aver trovato proprio tutti i sottospazi (che poi è la parte interessante!)...
Non vedo più di tanto la difficoltà di questa seconda parte. Ad un sottospazio \(S\) invariante e selezionata una sua base posso associare una matrice della restrizione dell'omomorfismo. D'altra parte siccome il sottospazio è invariante se \(B\) è la matrice dalla restrizione allora
\[\displaystyle A':= \left( \begin{array}{cc} B & 0 \\ C & D \end{array} \right) \]
dove segno con \(A'\) la matrice riferita allo stesso endomorfismo riferita ad una base che è completamento della base del sottospazio riferita a \(B\).
Siccome \(B\) è un endomorfismo di \(S\) allora posso trovare una matrice di jordan di \(B\) e per l'unicità della matrice di Jordan si dovrebbe concludere che si sono trovati tutti i sottospazi... O mi sbaglio?
P.S: Ci ho pensato un po' di fretta e quindi magari mi sbaglio.
Devo essere sincero, non capisco nemmeno quali proponi come sottospazi invarianti. Potresti darmi una rappresentazione esplicita (ad esempio tramite la base) di quelli che sono i tuoi candidati sottospazi invarianti?
"maurer":
Devo essere sincero, non capisco nemmeno quali proponi come sottospazi invarianti. Potresti darmi una rappresentazione esplicita (ad esempio tramite la base) di quelli che sono i tuoi candidati sottospazi invarianti?
Avevo scritto velocemente mentre stavo uscendo e probabilmente ho scritto cose sbagliate. Comunque stavo solo cercando di dire che secondo me per dimostrare che erano tutti non erano necessario trovarli direttamente. Ma penso di averlo scritto maluccio.
In realtà, trovarli direttamente non è difficile (ci sono riuscito io, quindi direi che è una cosa standard 
).
Per quanto mi riguarda è decisamente più difficile far vedere che quelli trovati sono tutti (infatti io non sono riuscito a risolvere questo punto, è stato maurer).
).Per quanto mi riguarda è decisamente più difficile far vedere che quelli trovati sono tutti (infatti io non sono riuscito a risolvere questo punto, è stato maurer).
faccio un tentativo.
definizione: sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e $B={e_1,e_2,...,e_n}$ una sua base. denoto con $I_j$ il sottospazio vettoriale di generato dai vettori ${e_1,e_2,...,e_j}$.
piccola precisazione: con la notazione che uso io, se $M$ è la matrice associata al'applicazione lineare $f$, per ogni vettore $v$ vale $f(v)=M*v$ dove il prodotto è inteso di tipo matriciale e il vettore $v$ come un vettore colonna.
in questo caso, se [tex]a=\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_i[/tex] allora mi esce [tex]f(a)=\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (e_k*\displaystyle \sum_{s = k}^{n} a_{s})[/tex] (lo scrivo giusto per evitare fraintendimenti)
inoltre,come di consueto,denoto la i-esima componente di un vettore $v$ von $v_i$
voglio dimostrare che se un sottospazio $S$ di $$ è f-invariante,allora $S=I_j$ per qualche $j$.
LEMMA:
sia $S$ sottospazio di $V$ f-invariante. se esiste un vettore $a$ tale che $a_j!=0$ e $a_k=0$ per ogni $k>j$ contenuto in $S$, allora $S$ contiene $I_j$.
DIMOSTRAZIONE
per induzione su j.
verifichiamo che se $j=1$, allora $S$ contiene per ipotesi un vettore del tipo $a_1*e_1$,quindi contiene $e_1$ che genera $I_1$.
sia vero per $j-1$, verifichiamo che vale per $j$.
quindi $S$ è un sottospazio di $V$ f-invariante contenente almeno un vettore $a$ del tipo
[tex]a=\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_i[/tex]
con $a_i=0$ se $i>j$ e $a_j!=0$.
siccome $S$ è f-invariante,deve contenere anche $f(a)$, cioè il vettore [tex]f(a)=\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (e_k*\displaystyle \sum_{s = k}^{n} a_{s})[/tex].
a questo punto è immediato verificare che il vettore $(f(a)-a)$,contenuto in $S$, è del tipo [tex](f(a)-a)=\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (e_k*\displaystyle \sum_{s = k+1}^{n} a_{s})[/tex]. notiamo che $(f(a)-a)_(j-1)=a_j!=0$ e che $(f(a)-a)_k=0$ se$ k>j-1$. possiammo quindi applicare l'ipotesi induttiva su questo vettore, e pertanto affermare che $S$ contiene $I_(j-1)$. Per questo motivo anche il vettore [tex]a'=\displaystyle \sum_{i = 1}^{j-1} a_{i} e_i[/tex] appartiene a S in quanto contenuto in $I_(j-1)$, e quindi anche il vettore $(a-a')$ appartiene ad $S$. questo vettore in particolare è il vettore $a_j*e_j$.
quindi $S$ contiene sia $I_(j-1)$ che $e_j$; ne segue che S contiene $I_j$.
PS:(mi scuso se non ho svolto esplicitamente i conti in piu passaggi,è che sono piuttosto lento a scrivere in latex,sopratutto se ci sono di mezzo le sommatorie; in ogni caso si tratta di conti abbastanza banali da svolgere su carta)
COROLLARIO: sia $S$ un sottospazio di $V$ f-invariante. allora $S=I_j$ per qualche $j$.
DIMOSTRAZIONE:
sia $k$ il piu alto numero tale che $I_k$ è contenuto in $S$(esiste perchè sto considerando spazi vettoriali di dimensione finita), e supponiamo vi sia un vettore $s$ di $S$ tale che $s$ non appartiene a $I_k$. allora esiste una componente $s_h$ con $h>k$ tale che $s_h!=0$,altrimenti s sarebbe combinazione lineare dei primi k elementi della base. Tra tutte le componenti $s_h$ non nulle, ve ne sara una "maggiore" secondo la relazione d'ordine definita sui vettori della base. sia $S_H$ tale componente,cioè quella riferita al vettore $e_H$. ma allora vale $a_i=0$ per ogni $i>H$, e quindi possiamo applicare il lemma precedente sfruttando il vettore $s$; otteniamo che $S$ contiene $I_H$,con $H>k$,contro l'ipotesi iniziale;arriviamo cosi all'assurdo.
definizione: sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e $B={e_1,e_2,...,e_n}$ una sua base. denoto con $I_j$ il sottospazio vettoriale di generato dai vettori ${e_1,e_2,...,e_j}$.
piccola precisazione: con la notazione che uso io, se $M$ è la matrice associata al'applicazione lineare $f$, per ogni vettore $v$ vale $f(v)=M*v$ dove il prodotto è inteso di tipo matriciale e il vettore $v$ come un vettore colonna.
in questo caso, se [tex]a=\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_i[/tex] allora mi esce [tex]f(a)=\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (e_k*\displaystyle \sum_{s = k}^{n} a_{s})[/tex] (lo scrivo giusto per evitare fraintendimenti)
inoltre,come di consueto,denoto la i-esima componente di un vettore $v$ von $v_i$
voglio dimostrare che se un sottospazio $S$ di $$ è f-invariante,allora $S=I_j$ per qualche $j$.
LEMMA:
sia $S$ sottospazio di $V$ f-invariante. se esiste un vettore $a$ tale che $a_j!=0$ e $a_k=0$ per ogni $k>j$ contenuto in $S$, allora $S$ contiene $I_j$.
DIMOSTRAZIONE
per induzione su j.
verifichiamo che se $j=1$, allora $S$ contiene per ipotesi un vettore del tipo $a_1*e_1$,quindi contiene $e_1$ che genera $I_1$.
sia vero per $j-1$, verifichiamo che vale per $j$.
quindi $S$ è un sottospazio di $V$ f-invariante contenente almeno un vettore $a$ del tipo
[tex]a=\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_i[/tex]
con $a_i=0$ se $i>j$ e $a_j!=0$.
siccome $S$ è f-invariante,deve contenere anche $f(a)$, cioè il vettore [tex]f(a)=\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (e_k*\displaystyle \sum_{s = k}^{n} a_{s})[/tex].
a questo punto è immediato verificare che il vettore $(f(a)-a)$,contenuto in $S$, è del tipo [tex](f(a)-a)=\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} (e_k*\displaystyle \sum_{s = k+1}^{n} a_{s})[/tex]. notiamo che $(f(a)-a)_(j-1)=a_j!=0$ e che $(f(a)-a)_k=0$ se$ k>j-1$. possiammo quindi applicare l'ipotesi induttiva su questo vettore, e pertanto affermare che $S$ contiene $I_(j-1)$. Per questo motivo anche il vettore [tex]a'=\displaystyle \sum_{i = 1}^{j-1} a_{i} e_i[/tex] appartiene a S in quanto contenuto in $I_(j-1)$, e quindi anche il vettore $(a-a')$ appartiene ad $S$. questo vettore in particolare è il vettore $a_j*e_j$.
quindi $S$ contiene sia $I_(j-1)$ che $e_j$; ne segue che S contiene $I_j$.
PS:(mi scuso se non ho svolto esplicitamente i conti in piu passaggi,è che sono piuttosto lento a scrivere in latex,sopratutto se ci sono di mezzo le sommatorie; in ogni caso si tratta di conti abbastanza banali da svolgere su carta)
COROLLARIO: sia $S$ un sottospazio di $V$ f-invariante. allora $S=I_j$ per qualche $j$.
DIMOSTRAZIONE:
sia $k$ il piu alto numero tale che $I_k$ è contenuto in $S$(esiste perchè sto considerando spazi vettoriali di dimensione finita), e supponiamo vi sia un vettore $s$ di $S$ tale che $s$ non appartiene a $I_k$. allora esiste una componente $s_h$ con $h>k$ tale che $s_h!=0$,altrimenti s sarebbe combinazione lineare dei primi k elementi della base. Tra tutte le componenti $s_h$ non nulle, ve ne sara una "maggiore" secondo la relazione d'ordine definita sui vettori della base. sia $S_H$ tale componente,cioè quella riferita al vettore $e_H$. ma allora vale $a_i=0$ per ogni $i>H$, e quindi possiamo applicare il lemma precedente sfruttando il vettore $s$; otteniamo che $S$ contiene $I_H$,con $H>k$,contro l'ipotesi iniziale;arriviamo cosi all'assurdo.
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