Lemma di Borel: derivate assegnate in un punto
Ciao a tutti!
Il prof. mi ha citato un "Lemma di Borel" (ho trovato qualche riscontro, in realtà più generale, su Wikipedia).
Assegnata una qualunque successione $(M_k)_k$ di numeri reali, si può sempre assegnare una funzione $C^\infty$ che abbia come derivate in un punto esattamente quei numeri.
Come suggerimento, si pensi alla funzione
$f(x)=\sum_{j=1}^\infty M_j \frac{x^j}{j!} \chi(\lambda_j x)$
con $chi$ la funzione caratteristica della sfera centrata in $0$ di raggio $1$, e $(lambda_j)_j$ una successione scelta opportunamente per far convergere il tutto.
Ok. Ma perchè è vero che la $f$ è $C^\infty$?
E posso scegliere le cose in modo che sia analitica?
Per ora, penso che la nostra funzione converge assolutamente e uniformemente sui compatti. Basta fare una stima, e osservare che $|x|\leq \frac{1}{lambda_j}$, e imporre per esempio $\lambda_j=(M_j)^\frac{1}{j}$.
E poi?
Il prof. mi ha citato un "Lemma di Borel" (ho trovato qualche riscontro, in realtà più generale, su Wikipedia).
Assegnata una qualunque successione $(M_k)_k$ di numeri reali, si può sempre assegnare una funzione $C^\infty$ che abbia come derivate in un punto esattamente quei numeri.
Come suggerimento, si pensi alla funzione
$f(x)=\sum_{j=1}^\infty M_j \frac{x^j}{j!} \chi(\lambda_j x)$
con $chi$ la funzione caratteristica della sfera centrata in $0$ di raggio $1$, e $(lambda_j)_j$ una successione scelta opportunamente per far convergere il tutto.
Ok. Ma perchè è vero che la $f$ è $C^\infty$?
E posso scegliere le cose in modo che sia analitica?
Per ora, penso che la nostra funzione converge assolutamente e uniformemente sui compatti. Basta fare una stima, e osservare che $|x|\leq \frac{1}{lambda_j}$, e imporre per esempio $\lambda_j=(M_j)^\frac{1}{j}$.
E poi?
Risposte
Fantastico!
E dire che avevo anche letto quella pagina a suo tempo.
Anche in trasferta.. super efficace!
Ciao
E dire che avevo anche letto quella pagina a suo tempo.
Anche in trasferta.. super efficace!
Ciao
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