[Topologia] Infinità dei numeri primi

[fu^2]

propongo un gioco fichissimo che porta a questo risultato ben conosciuto usando la nostra amata topologia

"Su $ZZ$ sia $\mathbf{B}$ la famiglia di tutte le progressioni aritmetiche $U_(a,n)={a+kn|k\in\ZZ}$ con l'insieme vuoto. Essa forma ovviamente una base per una topologia su $ZZ$. Usando questa topologia dedurre che i numeri primi sono infiniti"

Hint:
Mostrare che in generale $U_(a,n)$ son sia aperti che chiusi, ma la loro unione è per forza chiusa. Basandosi su questo fatto vedere come si comporta l'insieme $A=uuU_(0,p)$ con p primo maggiore di due e da qui arrivare alla tesi.

[Gabriel6]

Si tratta di una dimostrazione assai famosa, dovuta a Fürstenberg (1955). Osserviamo che $U_p = U_{0,p}$ è chiuso, per ogni primo $p \in ZZ$, in quanto il suo complementare è $\cup_{a=1}^{p-1} \{a+pk\}_{k \in NN}$ è evidentemente aperto - dacché unione di elementi della base topologica. Ammettiamo, quindi, che l'insieme $P $ dei primi di $ZZ$ sia finito. Allora $U = \cup_{p \in P} U_p$ è chiuso - perché unione finita di chiusi. Sennonché $U = ZZ$ \ $\{\pm 1\}$, per via del teorema di fattorizzazione di Euclide. Dunque $\{\pm 1\}$ è aperto. Il che è assurdo, pur di ammettere (com'è lecito) che in $B$ non siano presenti le progressioni di tipo $U_{\pm 1,b}$, con $b \in ZZ$.

[fu^2]

azz la conoscevi già... va beh, ascolta approfitto allora delle tue conoscienze per chiederti una cosa fuori dal gioco, che ho trovato come nota, ma è fuori dalla mia mira... Fürstenberg dice anche che è una topologia metrizzabile, come si fa a farlo vedere?...

comunque, ovviamente, è giusta e bella la tua dimostrazione

forse questo è il modo più bello che ho visto per orea per dimosatrare l'infinità di numeri primi, cioè iboh... mi piace tanto ciaoo

[j18eos]

Penso che ci voglia una piccola precisazione (almeno per me!): deve essere \(n>0\) altrimenti si definisce la topologia discreta su \(\mathbb{Z}\).

1) Dando per scontato che \(\mathrm{B}\) sia una base topologica, la topologia \(\mathcal{T}\) che essa definisce su \(\mathbb{Z}\) è banalmente \(\mathrm{N}_2\).

2) Siano \(a\neq b\in\mathbb{Z}\) e si considerino gli intorni \(U_{a;a-b+1};\,U_{b;b-a+1}\); si ha che: \(a\in U_{a;a-b+1};\,a\not\in U_{b;b-a+1};\,b\not\in U_{a;a-b+1};\,b\in U_{b;b-a+1}\), cioè \((\mathbb{Z};\mathcal{T})\) è uno spazio topologico \(\mathrm{T}_1\) o di Fréchet.

3) Siano \(m\in\mathbb{Z}\) e \(A_1\in\mathcal{T}\) il generico intorno aperto di \(m\); una unione di progressioni aritmetiche di origine \(m\) costituiscono l'aperto \(A_1\).
Considerato l'insieme chiuso \(C=\mathbb{Z}\setminus A_1\), poiché \(m\not\in C\) si può considerare l'aperto\(A_2\) unione delle progressioni aritmetiche che non hanno origine in \(m\), per esso si ha che \(C\subseteq A_2\); inoltre, \(m\) non è aderente a \(C\) quindi \(\exists\overline{n}\in\mathbb{N}\mid U_{m;\overline{n}}\cap C=\emptyset\).
Scelti \(m\in A_3=U_{m;\overline{n}}\subset A_1;\,C\subset A_4=\cup_{c\in C}U_{c;\overline{n}}\subset A_2\in\mathcal{T}\), si ha che \(A_3\cap A_4=\emptyset\) e quindi \((\mathbb{Z};\mathcal{T})\) è uno spazio topologico regolare (*).

Per il teorema di Urysohn(*) \((\mathbb{Z};\mathcal{T})\) è uno spazio topologico metrizzabile!

§§§

(*) Essendo \((\mathbb{Z};\mathcal{T})\) uno spazio topologico di Fréchet soddisfacente l'assioma di regolarità si ha che esso è anche uno spazio di Hausdorff o \(\mathrm{T}_2\).

OUT OF SELF Bella dimostrazione dell'infinità dei numeri primi; mi sono levato lo sfizio di dimostrare l'ultima affermazione di fu^2!

EDIT Specificato in meglio gli aperti \(A_3\) ed \(A_4\).

[maurer]

Ho dato una costruzione esplicita di quella metrica qui.