[EX] Una disuguaglianza per funzioni a media nulla

[gugo82]

Un problema apparso recentemente sullo American Mathematical Monthly (v. 118, n° 6) al quale ho aggiunto un secondo punto.
Non ho la soluzione.

Come già accaduto, se ci sarà l'accordo dei solutori, la risposta verrà inviata alla rivista a nome del forum.

***

Problema:

Sia [tex]$f(x)$[/tex] una funzione continua di [tex]$[0,1]$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], non costante, avente media integrale nulla (ossia tale che [tex]\int_0^1 f(x)\ \text{d} x=0[/tex]); si ponga:

[tex]$m:=\min_{x\in [0,1]} f(x)$[/tex] e [tex]$M:=\max_{x\in [0,1]} f(x)$[/tex],

(si noti che [tex]$m<0
1. Provare che:

(*) [tex]$\left| \int_0^1 x f(x)\ \text{d} x \right| \leq \frac{-mM}{2(M-m)}$[/tex].

2. Evidentemente la (*) si può riscrivere come segue:

(**) [tex]$\left| \int_0^1 x f(x)\ \text{d} x \right| \leq \tfrac{1}{4}\ \mathcal{H}(M,-m)$[/tex],

ove:

[tex]$\mathcal{H}(M,-m):=\frac{2}{\frac{1}{M}-\frac{1}{m}}$[/tex]

è la media armonica dei numeri positivi [tex]$-m$[/tex] ed [tex]$M$[/tex]. Dimostrare che [tex]C=\frac{1}{4}[/tex] è la migliore costante in (**).

[Rigel1]

Fornisco intanto una soluzione "difficile", che chiaramente non è quella preferenziale ma magari può dare qualche spunto.

Indichiamo con $F(x) = \int_0^x f(t) dt$ la funzione integrale di $f$. Dopo un'integrazione per parti, e tenendo conto del fatto che $F(0)=F(1) =0$,
la disuguaglianza (*) diviene
(1) $|\int_0^1 F(x) dx| \le \frac{-mM}{2(M-m)}$.
(Ovviamente è sottinteso che $f$ non sia identicamente nulla, dunque $m < 0 < M$.)
Possiamo pensare, equivalentemente, di massimizzare $|\int_0^1 F|$ fra tutte le funzioni di classe [tex]C^1([0,1])[/tex] aventi $m\le F'\le M$.
Tenendo conto della simmetria $F\mapsto -F$, e rilassando il problema in $W^{1,\infty}(0,1)$, possiamo cercare, fissati $m<0 (2) $\max_{F\in X} \int_0^1 F$, con [tex]X = \{F\in W^{1,\infty}(0,1)\cap C( [ 0,1 ] ): F(0)=F(1)=0\}[/tex].
La soluzione del problema è la distanza asimmetrica dal bordo di $\Omega = (0,1)$ generata dal convesso $K=[m,M]$, vale a dire la funzione
[tex]F(x) =
\begin{cases}
M x, & x\in [0, c],\\
m(x-1), & x\in [c, 1],
\end{cases}
\qquad c:= \frac{-m}{M-m}.[/tex]
Questo è infatti l'elemento massimale in $X$, che dunque massimizza anche l'integrale.
Per tale funzione si ha
[tex]\int_0^1 F = \int_0^c Mx dx + \int_c^1 m(x-1)dx = -\frac{mM}{2(M-m)}.[/tex]

[gugo82]

Molto bello.

Fino all'integrazione per parti c'ero, ma poi non sapevo andare avanti con metodi elementari; tuttavia ai massimi c'ero arrivato "a occhio", quindi avevo posto la domanda sulla migliore costante (da notare che i massimi sono "generati" da una funzione [tex]$f(x)$[/tex] discontinua, ergo la costante migliore non è "presa" nel problema originario).

Una curiosità.
Questo passaggio:

La soluzione del problema è la distanza asimmetrica dal bordo di [tex]$\Omega = (0,1)$[/tex] generata dal convesso [tex]$K=[m,M]$[/tex], vale a dire la funzione
[tex]F(x) =
\begin{cases}
M x, & x\in [0, c],\\
m(x-1), & x\in [c, 1],
\end{cases}
\qquad c:= \frac{-m}{M-m}.[/tex]
Questo è infatti l'elemento massimale in [tex]$X$[/tex], che dunque massimizza anche l'integrale.

si giustifica con metodi classici di CdV?

Inoltre, il nome distanza asimmetrica generata da un convesso non l'avevo mai sentito...

P.S.: Ovviamente ho dimenticato di precisare che [tex]$f(x)$[/tex] non è costante... Ora correggo il testo.

[Rigel1]

Ecco la versione rielaborata di quanto scritto ieri.

Come già detto, fissati $m<0 [tex]Y := \{F\in C^1([0,1]): F(0) = F(1) = 0, F'(x)\in [m,M]\ \forall x\in [0,1]\}[/tex]
si tratta di dimostrare che
(1) [tex]|\int_0^1 F| \leq \frac{-mM}{2(M-m)}\qquad \forall F\in Y.[/tex]

Definiamo i punti
[tex]v^+ := \frac{-m}{M-m},\qquad
v^- := \frac{M}{M-m}[/tex],
e le funzioni (massimale e minimale)
\[
F^+(x) :=
\begin{cases}
Mx &\text{, se } x\in [0,v^+],\\
m(x-1) &\text{, se } x\in [v^+, 1],
\end{cases}
\qquad F^-(x) :=
\begin{cases}
mx &\text{, se } x\in [0,v^-],\\
M(x-1) &\text{, se } x\in [v^-, 1],
\end{cases}
\]

Lemma. Per ogni $F\in Y$ si ha
\[
\tag{2} F^{-}(x) \le F(x) \le F^+(x)
\]
per ogni $x\in [0,1]$.

Dim. Facciamo vedere che $F\le F^+$ (l'altra disuguaglianza è analoga).
Supponiamo per assurdo che esista $x_0\in (0,1)$ tale che $F(x_0) > F^+(x_0)$. Abbiamo due casi:
1) $x_0 \in (0, v^+]$: allora $F(x_0) - F(0) > F^+(x_0) - F^+(0) = M x_0$. Per il teorema di Lagrange esiste $c\in (0, x_0)$ tale che $F'(c) > M$, assurdo.
2) $x_0 \in (v^+, 1]$: allora $F(1) - F(x_0) < F^+(1) - F^+(x_0) = m(1-x_0)$. Per il teorema di Lagrange esiste $c\in (x_0,1)$ tale che $F'(c) < m$, assurdo. ///

Osservando ora che $\int_0^1 F^+ = \frac{-mM}{2(M-m)} = -\int_0^1 F^{-}$, dal lemma segue subito (1).

Oss.: la disuguaglianza (1) è stretta, dal momento che [tex]F \neq F^{\pm}[/tex] per ogni $F\in Y$.

[Rigel1]

@gugo:

In generale, se [tex]$\Omega\subset\mathbb{R}^n$[/tex] è un aperto limitato, la funzione massimale nella classe delle funzioni Lipschitziane su [tex]$\overline{\Omega}$[/tex], con gradiente in norma [tex]$\le 1$[/tex], e che si annullano sul bordo di [tex]$\Omega$[/tex], è la distanza dal bordo
[tex]d(x) := \min_{y\in\partial\Omega} |x-y|.[/tex]
Questa cosa può essere generalizzata come segue.
Sia [tex]$K\subset\mathbb{R}^n$[/tex] un compatto convesso contenente l'origine come punto interno, sia [tex]$K^0$[/tex] il suo polare, e sia [tex]$\rho^0$[/tex] il gauge di [tex]$K^0$[/tex].
La funzione [tex]$(x,y)\mapsto \rho^0(x-y)$[/tex] può essere vista come una distanza asimmetrica in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] (soddisfa infatti tutte le proprietà di una distanza eccetto la simmetria).
La funzione
[tex]d(x) := \min_{y\in\partial\Omega} \rho^0(x-y)[/tex]
è l'elemento massimale nella classe
[tex]Y := \{u:\overline{\Omega}\to\mathbb{R}\ \rm{Lipschitz}: u=0\ \rm{su}\ \partial\Omega, \nabla u \in K\ \rm{a.e. in}\ \Omega\}.[/tex]

[gugo82]

@Rigel: Mmmm, interessante. Dove posso leggere qualcosa a riguardo?

[Rigel1]

Il riferimento standard è il libro di P.L. Lions, "Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations" (o qualcosa del genere, cito a memoria).

[gugo82]

Ah, un testo semplice, insomma...
Grazie Righello, me lo vado a spulciare appena ho un po' di tempo.

[gugo82]

"Rigel":In generale, se [tex]$\Omega\subset\mathbb{R}^n$[/tex] è un aperto limitato, la funzione massimale nella classe delle funzioni Lipschitziane su [tex]$\overline{\Omega}$[/tex], con gradiente in norma [tex]$\le 1$[/tex], e che si annullano sul bordo di [tex]$\Omega$[/tex], è la distanza dal bordo
[tex]d(x) := \min_{y\in\partial\Omega} |x-y|.[/tex]

Vabbé questo è facile...

Infatti se [tex]$u\in C^{0,1}(\overline{\Omega})$[/tex] ha [tex]$u\big|_{\partial \Omega} =0$[/tex] e [tex]$\lVert \nabla u\rVert_{\infty}\leq 1$[/tex] allora:

[tex]$u(x)\leq |u(x)|\leq \lVert \nabla u\rVert_{\infty}\ d(x)\leq d(x)$[/tex],

ergo:

[tex]$\int_\Omega u\leq \int_\Omega d$[/tex].

Tuttavia non riesco ancora a capire come funziona il caso generale, ossia quando [tex]$\nabla u(x)\in K$[/tex] per q.o. [tex]$x\in \overline{\Omega}$[/tex]... Però il libro di Lions ancora non ho avuto il tempo di sfogliarlo.

[Rigel1]

Nel caso generale, aldilà dei dettagli tecnici, l'idea geometrica è questa.
Definisci la "distanza" come
(1) [tex]d(x) := \min_{y\in\partial\Omega} \rho^0(x-y)[/tex]
dove $\rho^0$ è la funzione di gauge di $K^0$.
Cosa significa questa definizione?
Fissato $x\in\Omega$, puoi intanto identificare le proiezioni di $x$ sul $\partial\Omega$, vale a dire i punti $y\in\partial\Omega$ che per i quali è raggiunto il minimo in (1).
In realtà, si dimostra che per quasi ogni $x\in\Omega$ questo insieme di proiezioni è un singoletto.
Da un punto di vista geometrico, queste proiezioni si possono trovare considerando la famiglia di insiemi $x - \lambda K^0$ al variare di $\lambda > 0$, e andando a cercare il primo valore di $\lambda$ per il quale queste "palle generalizzate" vanno a toccare il bordo di $\Omega$.
Se $x$ ha proiezione $y\in\partial\Omega$, allora $d$ vale $0$ in $y$ e cresce linearmente lungo il raggio $[y,x]$; inoltre, $d$ è differenziabile in tutti i punti del raggio (escluso eventualmente $x$ stesso) e il suo gradiente vale $\frac{x-y}{\rho^0(x-y)}$, che è un elemento di $K$ (o, meglio, di $\partial K$).
Si può dimostrare che, in questo modo, trovi la funzione massimale fra quelle Lipschitziane con gradiente in $K$ e nulle sul bordo.

Per il caso regolare ($K$ e, dunque, $K^0$ di classe $C^2_+$) trovi un certo numero di dettagli qui:
http://arxiv.org/abs/math/0612226