I dadi ed il triangolo di tartaglia

[And_And92]

Dimostrare, se è vero che per $n<=s<=[(7n)/2]$ allora il numero di modi di ottenere il numero $s$ con $n$ dadi è dato dal binomiale $ ( ( s-1 ),( n-1 ) ) $.

Me ne sono accorto per caso, da un mesetto circa ma non ho mai cercato un vero e proprio attacco. Sarei curioso di vedere se è vero.

[simo.maio16]

direi che è vero solo se $n\le s\le n+5$

[And_And92]

Perchè mai?

[cenzo1]

Concordo con simo16.
Sono partito dal numero di soluzioni intere (positive) dell'equazione $x_1+x_2+...+x_n=s$, che è noto essere $((s-1),(n-1))$
(risultato che sfrutta le combinazioni con ripetizione: vedi qui).

Nel nostro caso però si vuol trovare le soluzioni intere del sistema:

$\{(x_1+x_2+...+x_n=s), (1 <= x_1 <= 6),(1 <= x_2 <= 6),(...),(1 <= x_n <= 6):}$

Vale ovviamente la limitazione: $n<=s<=6n$

Sfruttando il risultato precedente e utilizzando il principio di inclusione-esclusione, le soluzioni dovrebbero essere (salvo errori):

$((s-1),(n-1))-((n),(1))((s-7),(n-1))+((n),(2))((s-13),(n-1))-...=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k((n),(k))((s-1-6k),(n-1))$

Si vede che se $s-7s<=n+5$ tutti i binomiali tranne il primo sono nulli, e quindi la somma si riduce al solo primo termine.

Credo si possa anche generalizzare ad un dado con $m$ facce e deve poi risultare:

$\sum_{s=n}^{m*n}[\sum_{k=0}^{n}(-1)^k((n),(k))((s-1-m*k),(n-1))]=m^n$