Ultraprodotti
Ho trovato un esercizio interessante su questo argomento. Ne approfitto per aprire un post di semi-teoria per spiegare a chi abbia voglia di ascoltarmi che cosa sono di bello gli ultraprodotti.
Innanzi tutto consiglio una lettura di questo post, per le generalità sugli ultrafiltri. Per trattare l'argomento nella sua generalità e con pieno rigore sarebbe opportuno avere un'infarinatura di teoria dei modelli. Il teorema principale che si ottiene in questo contesto è il teorema di Los. Procedendo per questa via si arriva a dimostrare il celebre teorema di compattezza della logica matematica.
Sia [tex]\mathcal L[/tex] un linguaggio, sia [tex]\{M_i\}_{i \in I}[/tex] una famiglia di strutture di segnatura [tex]\mathcal L[/tex]. Definiamo [tex]\prod_{i \in I} M_i[/tex] nella maniera usuale, definendo le interpretazioni dei simboli di funzione e dei simboli di relazione per componenti. Se [tex]\varphi[/tex] è una formula del prim'ordine è in generale falso che [tex]\prod_{i \in I} M_i \vDash \varphi \iff M_i \vDash \varphi[/tex] per ogni [tex]i \in I[/tex] (questa proprietà è soddisfatta da un'ampia classe di formule, dette formule di Horn).
Se [tex]\mathcal F[/tex] è un ultrafiltro su [tex]I[/tex], introduciamo in [tex]M = \prod_{i \in I} M_i[/tex] la relazione [tex]\sim[/tex] definita ponendo [tex](a_i) \sim (b_i) \iff \{i \in I \mid a_i = b_i \} \in \mathcal F[/tex].
Esercizio facile, noioso ed utile. La relazione [tex]\sim[/tex] è una relazione di equivalenza. Inoltre se [tex]f \in \mathcal L[/tex] è un simbolo di funzione, allora [tex]f^M[/tex] passa al quoziente. Esplicitamente, se l'arietà di [tex]f[/tex] è [tex]n[/tex] e [tex](a_i^{(1)}) \sim (b_i^{(1)})[/tex], ..., [tex](a_i^{(n)}) \sim (b_i^{(n)})[/tex], allora [tex]f^M((a_i^{(1)}), \ldots, (a_i^{(n)})) \sim f^M((b_i^{(1)}), \ldots (b_i^{(n)}))[/tex]. Analogamente se [tex]\sigma \in \mathcal L[/tex] è un simbolo di relazione, allora [tex]\sigma^M[/tex] passa al quoziente.
Denotiamo con [tex]M_\mathcal{F}[/tex] il quoziente [tex]M / \sim[/tex]. Rendiamo [tex]M_\mathcal{F}[/tex] una struttura di segnatura [tex]\mathcal L[/tex] definendo le interpretazioni delle funzioni e delle relazioni semplicemente per passaggio al quoziente (l'esercizio precedente fa sì che tutto sia ben definito).
Il teorema di Los assicura che se [tex]\varphi[/tex] è una formula del prim'ordine in [tex]\mathcal L[/tex], allora [tex]M_\mathcal{F} \vDash \varphi^M \iff \{i \in I \mid M_i \vDash \varphi^{M_i} \} \in \mathcal F[/tex]. Assumendo questo teorema, tutti i lettori dovrebbero essere in grado di cimentarsi con gli esercizi seguenti.
Vi propongo adesso alcuni esercizi, rispettivamente in: pseudo-analisi, teoria dei gruppi, teoria dei campi.
Esercizio 1. Sia [tex]\mathcal F[/tex] un ultrafiltro su [tex]\mathbb N[/tex] e sia [tex]f : \mathbb N \to \mathbb R[/tex] una qualsiasi successione di numeri reali. Diciamo che [tex]l \in \overline{\mathbb R}[/tex] è un limite di [tex]f[/tex] rispetto a [tex]\mathcal F[/tex] e scriviamo [tex]\lim_{\mathcal F} f = l[/tex] se per ogni intorno aperto [tex]U[/tex] di [tex]l[/tex] esiste [tex]S \in \mathcal F[/tex] tale che [tex]f(S) \subset U[/tex].
Si dimostri che per ogni ultrafiltro [tex]\mathcal F[/tex] ed ogni successione di numeri reali [tex]f : \mathbb N \to \mathbb R[/tex] esiste un unico [tex]l \in \overline{ \mathbb R}[/tex] tale che [tex]\lim_{\mathcal F} f = l[/tex].
Naturalmente, con [tex]\overline{ \mathbb R }[/tex] denoto il completamento di [tex]\mathbb R[/tex], ossia [tex]\mathbb R \cup \{\pm \infty\}[/tex], dotato dell'usuale struttura d'ordine e topologia a cui siamo tutti abituati sin dalla culla.
Esercizio 2. Per ogni ultrafiltro [tex]\mathcal F[/tex] su [tex]\mathbb N[/tex] denotiamo con [tex]G_\mathcal{F}[/tex] il gruppo [tex]\left( \prod_{n \in \mathbb N} \mathbb Z / n \mathbb Z \right) / \mathcal F[/tex]. Provare che è possibile scegliere [tex]\mathcal F[/tex] in modo che [tex]G_\mathcal{F}[/tex]:
Innanzi tutto consiglio una lettura di questo post, per le generalità sugli ultrafiltri. Per trattare l'argomento nella sua generalità e con pieno rigore sarebbe opportuno avere un'infarinatura di teoria dei modelli. Il teorema principale che si ottiene in questo contesto è il teorema di Los. Procedendo per questa via si arriva a dimostrare il celebre teorema di compattezza della logica matematica.
Sia [tex]\mathcal L[/tex] un linguaggio, sia [tex]\{M_i\}_{i \in I}[/tex] una famiglia di strutture di segnatura [tex]\mathcal L[/tex]. Definiamo [tex]\prod_{i \in I} M_i[/tex] nella maniera usuale, definendo le interpretazioni dei simboli di funzione e dei simboli di relazione per componenti. Se [tex]\varphi[/tex] è una formula del prim'ordine è in generale falso che [tex]\prod_{i \in I} M_i \vDash \varphi \iff M_i \vDash \varphi[/tex] per ogni [tex]i \in I[/tex] (questa proprietà è soddisfatta da un'ampia classe di formule, dette formule di Horn).
Se [tex]\mathcal F[/tex] è un ultrafiltro su [tex]I[/tex], introduciamo in [tex]M = \prod_{i \in I} M_i[/tex] la relazione [tex]\sim[/tex] definita ponendo [tex](a_i) \sim (b_i) \iff \{i \in I \mid a_i = b_i \} \in \mathcal F[/tex].
Esercizio facile, noioso ed utile. La relazione [tex]\sim[/tex] è una relazione di equivalenza. Inoltre se [tex]f \in \mathcal L[/tex] è un simbolo di funzione, allora [tex]f^M[/tex] passa al quoziente. Esplicitamente, se l'arietà di [tex]f[/tex] è [tex]n[/tex] e [tex](a_i^{(1)}) \sim (b_i^{(1)})[/tex], ..., [tex](a_i^{(n)}) \sim (b_i^{(n)})[/tex], allora [tex]f^M((a_i^{(1)}), \ldots, (a_i^{(n)})) \sim f^M((b_i^{(1)}), \ldots (b_i^{(n)}))[/tex]. Analogamente se [tex]\sigma \in \mathcal L[/tex] è un simbolo di relazione, allora [tex]\sigma^M[/tex] passa al quoziente.
Denotiamo con [tex]M_\mathcal{F}[/tex] il quoziente [tex]M / \sim[/tex]. Rendiamo [tex]M_\mathcal{F}[/tex] una struttura di segnatura [tex]\mathcal L[/tex] definendo le interpretazioni delle funzioni e delle relazioni semplicemente per passaggio al quoziente (l'esercizio precedente fa sì che tutto sia ben definito).
Il teorema di Los assicura che se [tex]\varphi[/tex] è una formula del prim'ordine in [tex]\mathcal L[/tex], allora [tex]M_\mathcal{F} \vDash \varphi^M \iff \{i \in I \mid M_i \vDash \varphi^{M_i} \} \in \mathcal F[/tex]. Assumendo questo teorema, tutti i lettori dovrebbero essere in grado di cimentarsi con gli esercizi seguenti.
Vi propongo adesso alcuni esercizi, rispettivamente in: pseudo-analisi, teoria dei gruppi, teoria dei campi.
Esercizio 1. Sia [tex]\mathcal F[/tex] un ultrafiltro su [tex]\mathbb N[/tex] e sia [tex]f : \mathbb N \to \mathbb R[/tex] una qualsiasi successione di numeri reali. Diciamo che [tex]l \in \overline{\mathbb R}[/tex] è un limite di [tex]f[/tex] rispetto a [tex]\mathcal F[/tex] e scriviamo [tex]\lim_{\mathcal F} f = l[/tex] se per ogni intorno aperto [tex]U[/tex] di [tex]l[/tex] esiste [tex]S \in \mathcal F[/tex] tale che [tex]f(S) \subset U[/tex].
Si dimostri che per ogni ultrafiltro [tex]\mathcal F[/tex] ed ogni successione di numeri reali [tex]f : \mathbb N \to \mathbb R[/tex] esiste un unico [tex]l \in \overline{ \mathbb R}[/tex] tale che [tex]\lim_{\mathcal F} f = l[/tex].
Naturalmente, con [tex]\overline{ \mathbb R }[/tex] denoto il completamento di [tex]\mathbb R[/tex], ossia [tex]\mathbb R \cup \{\pm \infty\}[/tex], dotato dell'usuale struttura d'ordine e topologia a cui siamo tutti abituati sin dalla culla.
Esercizio 2. Per ogni ultrafiltro [tex]\mathcal F[/tex] su [tex]\mathbb N[/tex] denotiamo con [tex]G_\mathcal{F}[/tex] il gruppo [tex]\left( \prod_{n \in \mathbb N} \mathbb Z / n \mathbb Z \right) / \mathcal F[/tex]. Provare che è possibile scegliere [tex]\mathcal F[/tex] in modo che [tex]G_\mathcal{F}[/tex]:
1. sia senza torsione;
2. abbia elementi di torsione;
3. sia un gruppo divisibile;
4. contenga un elemento che non è divisibile per nessun numero [tex]n > 1[/tex].
[/list:u:1vmtnn6e]
Si dimostri inoltre che per ogni ultrafiltro non principale [tex]\mathcal F[/tex], [tex]G_{\mathcal F}[/tex] contiene un elemento senza torsione.
Esercizio 3. Scelto un ultrafiltro [tex]\mathcal F[/tex] sull'insieme [tex]\mathbb P[/tex] dei numeri primi, denotiamo con [tex]K_\mathcal{F}[/tex] l'ultraprodotto [tex]\left( \prod_{p \in \mathbb P} \mathbb F_p \right) / \mathcal F[/tex], dove [tex]\mathbb F_p[/tex] denota il campo con [tex]p[/tex] elementi.
1. Provare che per ogni ultrafiltro non principale [tex]\mathcal F[/tex] la caratteristica di [tex]K_\mathcal{F}[/tex] è 0;
2. provare o confutare che per ogni estensione algebrica [tex]K[/tex] di [tex]\mathbb Q[/tex] esiste un ultrafiltro [tex]\mathcal F[/tex] su [tex]\mathbb P[/tex] tale che il sottocampo [tex]E = \{x \in K_{\mathcal F} \mid x \text{ è algebrico sul campo primo } \mathbb Q\}[/tex] sia isomorfo a [tex]K[/tex].
[/list:u:1vmtnn6e]
Risposte
1) c'e' bisogno della limitatezza, altrimenti non viene. Basta prendere una successione divergente e un ultrafiltro non principale.
2) 1) basta prende un ultrafiltro libero che guarda solo quello che succede sui numeri primi, no? (qualcosa del tipo: prendi un ultrafiltro sui primi ed estendilo ad un ultrafiltro su $\mathbb N$)
2) 2) basta prendere un ultrafiltro principale (l'ultraprodtto si riduce al gruppo $\mathbb Z_n$, dove $n$ e' la base dell'ultrafiltro)
2) 3) cosa e' un gruppo divisibile?
2) 4) continuo a non capire di che divisbilita' si parla.
2) 5) E' piu' difficile scriverlo che pensarlo. Dovrebbe essere qualcosa del tipo: $g=(g_1,g_2,...)$ con $g_n$ di ordine massimo dentro $\mathbb Z_n$ e sfruttare il fatto che se un ultrafiltro non e' principale allora "non tronca" la successione e quindi l'ordine e' infinito.
2) 1) basta prende un ultrafiltro libero che guarda solo quello che succede sui numeri primi, no? (qualcosa del tipo: prendi un ultrafiltro sui primi ed estendilo ad un ultrafiltro su $\mathbb N$)
2) 2) basta prendere un ultrafiltro principale (l'ultraprodtto si riduce al gruppo $\mathbb Z_n$, dove $n$ e' la base dell'ultrafiltro)
2) 3) cosa e' un gruppo divisibile?
2) 4) continuo a non capire di che divisbilita' si parla.
2) 5) E' piu' difficile scriverlo che pensarlo. Dovrebbe essere qualcosa del tipo: $g=(g_1,g_2,...)$ con $g_n$ di ordine massimo dentro $\mathbb Z_n$ e sfruttare il fatto che se un ultrafiltro non e' principale allora "non tronca" la successione e quindi l'ordine e' infinito.
"Valerio Capraro":
1) c'e' bisogno della limitatezza, altrimenti non viene. Basta prendere una successione divergente e un ultrafiltro non principale.
Io avendoli già fatti mi esonero...
Effettivamente la sua domanda era divisa in due parti nel testo a cui lui sta facendo riferimento. In particolare in generale c'è n'è al più una e se è un ultrafiltro e la funzione è limitata allora c'è n'è uno.Un gruppo è divisibile se esiste un intero \(m\) tale che \(mg = 1\) per ogni \(g\in G\).
Non ci stiamo capendo: o sono rincoglionito, oppure l'esercizio richiesto e': dimostrare che ogni successione ammette limite lungo ogni ultrafiltro. Questa cosa e' falsa in quanto successioni divergenti non ammettono limite lungo ultrafiltri non principali.
Ps. nel punto 4) dell'esercizio 2) si fa anche riferimento ad un $n>1$ come se fosse un elemento del gruppo ultraprodotto. Non e' chiaro.
Ps. nel punto 4) dell'esercizio 2) si fa anche riferimento ad un $n>1$ come se fosse un elemento del gruppo ultraprodotto. Non e' chiaro.
"Valerio Capraro":
Non ci stiamo capendo: o sono rincoglionito, oppure l'esercizio richiesto e': dimostrare che ogni successione ammette limite lungo ogni ultrafiltro. Questa cosa e' falsa in quanto successioni divergenti non ammettono limite lungo ultrafiltri non principali.
Ho editato.
"Valerio Capraro":
Ps. nel punto 4) dell'esercizio 2) si fa anche riferimento ad un $n>1$ come se fosse un elemento del gruppo ultraprodotto. Non e' chiaro.
Ho modificato anche questo. E, per chiarezza, spiego cosa intendo dicendo che un elemento [tex]g[/tex] di un gruppo (astratto) [tex](G,\cdot)[/tex] è divisibile per un intero positivo (e non nullo) [tex]n \in \mathbb N[/tex]. Semplicemente, voglio dire che esiste un [tex]h \in G[/tex] tale che [tex]h^n = g[/tex]. Dico che un gruppo è divisibile se ogni elemento del gruppo è divisibile per qualsiasi intero positivo. Naturalmente, qui ho usato la notazione moltiplicativa, ma va benissimo come già espresso da vict85 con la notazione addittiva (e in questo contesto è decisamente più idonea...)
1) Ora funziona 
(E' una dimostrazione standard, la lascio a qualcun altro)
2) Ora capisco. La confusione era creata anche dal fatto che usi $n$ che e' pure l'indice che usi per fare l'ultraprodotto..
(E' una dimostrazione standard, la lascio a qualcun altro)2) Ora capisco. La confusione era creata anche dal fatto che usi $n$ che e' pure l'indice che usi per fare l'ultraprodotto..
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