[Normale '11] Continuità funzione

[giaorl]

Propongo l'unico esercizio che ho risolto al concorso della Normale quest'anno.
Esercizio. Sia [tex]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] suriettiva e tale che per ogni [tex](x_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] non convergente, [tex](f(x_n))_{n \in \mathbb{N}}[/tex] è non convergente. Provare che [tex]f[/tex] è continua.

[Rigel1]

Si vede subito che $f$ deve essere anche iniettiva; detta $f^{-1}$ la sua inversa, è equivalente dimostrare che $f^{-1}$ è continua.
Ma questo segue subito dal fatto che la contronominale dell'ipotesi data dice che se $(y_n)$ è convergente, allora anche $(f^{-1}(y_n))$ è convergente.

[ciampax]

Interessante: una forma un po' "mascherata" di quello che molti chiamano "Teorema Ponte". Si divertono al concorso in Normale!

[giaorl]

Direi che si deve aggiungere

che una funzione bigettiva e continua reale di una variabile reale è un omeomorfismo

È esattamente la mia dimostrazione (e credo quella di chiunque altro l'abbia risolto).