Topologia;omeomorfismi
siano $X$ e $Y$ spazi topologici tali che esistano
$f:XrarrY$
$g:YrarrX$
con $f$ e $g$ continue e biunivoche.
dimostrare o confutare:
1) allora $X$ e $Y$ sono omeomorfi
2) $f$ e $g$ sono necessariamente omeomorfismi
EDIT:scusate, mi hanno fatto notare un errore nella mia dimostrazione; non so risolvere il punto 1), a questo punto non so nemmeno se sia vero o falso.
se qualcuno riesce a risolverlo mi farà felice
$f:XrarrY$
$g:YrarrX$
con $f$ e $g$ continue e biunivoche.
dimostrare o confutare:
1) allora $X$ e $Y$ sono omeomorfi
2) $f$ e $g$ sono necessariamente omeomorfismi
EDIT:scusate, mi hanno fatto notare un errore nella mia dimostrazione; non so risolvere il punto 1), a questo punto non so nemmeno se sia vero o falso.
se qualcuno riesce a risolverlo mi farà felice
Risposte
Secondo me è falso. A naso, direi che sarebbe vero se ci fosse qualche condizione su $f circ g$ e su $g circ f$, ma così com'è è troppo poco.
Solo che, ti dico la verità, non ho trovato un controesempio semplice. Ci ho pensato un pochino ma non ho concluso un tubo.
Se trovi il tempo, potresti dare un'occhiata a Counterexamples in topology di Steen e Seebach.
Solo che, ti dico la verità, non ho trovato un controesempio semplice. Ci ho pensato un pochino ma non ho concluso un tubo.
Se trovi il tempo, potresti dare un'occhiata a Counterexamples in topology di Steen e Seebach.
Se prendiamo la composizione otteniamo una funzione continua e biiettiva [tex]X \to X[/tex].
Questo fa venire in mente un'altra domanda:
è vero che ogni funzione continua e biiettiva [tex]X \to X[/tex] è un omeomorfismo?
Se la risposta è "sì" allora la risposta a 1) è "sì";
se la risposta è "no" allora la risposta a 2) è "no".
Questo fa venire in mente un'altra domanda:
è vero che ogni funzione continua e biiettiva [tex]X \to X[/tex] è un omeomorfismo?
Se la risposta è "sì" allora la risposta a 1) è "sì";
se la risposta è "no" allora la risposta a 2) è "no".
Ma $X$ deve avere la medesima topologia, no?
Altrimenti trovare un controesempio è semplice
Altrimenti trovare un controesempio è semplice
"mistake89":Certo, [tex]X[/tex] qui è inteso come spazio topologico (in altre parole, la topologia è fissata)
Ma $X$ deve avere la medesima topologia, no?
Mentre cercavo di pensare al quesito me n'è venuto un altro.
Nelle stesse ipotesi si può affermare che gli aperti di $X$ sono tutti e sole le controimmagini di aperti di $X$?
Cioè preso $A$ aperto di $X$ esiste sempre $A'$ aperto di $X$ tale che $A=f^(-1)(A')$?
Mmm in realtà credo sia solo un modo equivalente di vedere lo stesso problema
Nelle stesse ipotesi si può affermare che gli aperti di $X$ sono tutti e sole le controimmagini di aperti di $X$?
Cioè preso $A$ aperto di $X$ esiste sempre $A'$ aperto di $X$ tale che $A=f^(-1)(A')$?
Mmm in realtà credo sia solo un modo equivalente di vedere lo stesso problema
riporto qua quello che ho concluso (è da un po che ci penso)
innanzitutto, una funzione continua biunivoca da (X,T) a (X,T) non è detto che sia omeomorfismo. ad esempio, mettiamo su $ZZ$ questa topologia:
$A$ è aperto(non banale) se e solo se $A$ contiene solo positivi
equivalentemente: $A$ è aperto(non banale) se e solo se il complementare $A^c$ contiene almeno tutti i negativi e lo 0
questa risulta essere una topologia, e la funzione $f:ZZtoZZ$ $f(z)=z-1$ una funzione biunivoca,continua,ma non aperta.
quindi,se torniamo all'enunciato iniziale, sappiamo che non potremo mai garantire che $F$ e $G$ siano omeomorfismi(appunto perchè altrimenti avremmo un controesempio)
cio nonostante,credo che questo non basta a garantire che l'enunciato sia falso; magari esiste comunque un'omeomorfismo, solo che non è detto siano $F$ o $G$.
anche perchè sono riuscito a dimostrare(provateci,è carino) che l'enunciato è equivalente a quest'altro:
siano [tex](X,\mathcal T_x_1)[/tex] [tex](X,\mathcal T_x_2)[/tex][tex](X,\mathcal T_x_3)[/tex] spazi topologici tali che:
[tex](X,\mathcal T_x_1)\cong(X,\mathcal T_x_3)[/tex]
[tex](X,\mathcal T_x_1)\leq (X,\mathcal T_x_2)\leq (X,\mathcal T_x_3)[/tex]
allora:
[tex](X,\mathcal T_x_1)\cong(X,\mathcal T_x_2)\cong(X,\mathcal T_x_3)[/tex]
e questo, a naso, sembra proprio vero.. solo che non riesco a dimostrarlo.
probabilmente questo problema si trasforma in qualcosa di legato ai reticoli..
EDIT nel caso ve lo stesse chiedendo, esistono omeomorfismi tra spazi contenuti non banalmente l'un l'altro.
un esempio, siano $(ZZ,T_1)$ $ZZ$ con la topologia di prima(quella dei positivi) e $(ZZ,T_2)$ tale che $A$ è aperto di $T_2$ se e solo se A contiene solo pari positivi.
ora considerate
$f(z)=2z$ se $z$ è positivo
$f(z)=z/2$ se $z$ è negativo e pari
$f(z)=|z|$ altrove(rimangono solo i dispari negativi e lo 0)
vi assicuro che $f$ è un'omeomorfismo (da $T_1$ a $T_2$), anche perchè in particolare $T_2$ è stato costruito apposta affinchè $f$ sia omeomorfismo.
in questo modo si riesce addirittura a creare una catena infinita di spazi omeomorfi tali che le loro topologiec appartengano ad una catena non banale.
il trucco sta nel trascinare tramite $f$ la topologia $T_2$ su $ZZ$(visto come insieme,non come spazio topologico).
definisco $T_3$ tale che $f$ da $(ZZ,T_2)to(ZZ,T_3)$ sia omeomorfismo,cioè $A$ è aperto in $T_3$ se e solo se $f^{-1}(A)$ è aperto in $T_2$
in questo modo $f$ è un'omeomorfismo,e $T_3$ una topologia.
è chiaro che, a questo punto, iterando il procedimento un numero finito qualsiasi di volte,otteniamo la nostra bella catena.
nel caso del lemma di sopra,quello equivalente al lemma di partenza, da una sitiazione del tipo
$X_1<=X_2<=X_3$ con $X_1=X_3$( "=" è in senso di omeomorfismo)
riusciamo a ricondurci a una del tipo
...$<=X_{z-1}<=X_{z}<=X_{z+1}<=$... con $z$ indicizzato da $ZZ$ e $X_z=X_m$(omeomorfi) se $z=m$(congui modulo2)
da una situazione del genere sembra piu facile trovare un'assurdo(io per ora nn ci riesco)
una cosa carina che si può fare a questo è definire un "limite" per $f$ con l'intersezione di tutti gli elementi della catena ottenuta(l'intersezione albitraria di topologie è una topologia).
allo stesso modo possia definire un limite per $f^{-1}$ come l'unione di tutte le topologie della catena(che nn riesco a dimostare che sia una topologia)
innanzitutto, una funzione continua biunivoca da (X,T) a (X,T) non è detto che sia omeomorfismo. ad esempio, mettiamo su $ZZ$ questa topologia:
$A$ è aperto(non banale) se e solo se $A$ contiene solo positivi
equivalentemente: $A$ è aperto(non banale) se e solo se il complementare $A^c$ contiene almeno tutti i negativi e lo 0
questa risulta essere una topologia, e la funzione $f:ZZtoZZ$ $f(z)=z-1$ una funzione biunivoca,continua,ma non aperta.
quindi,se torniamo all'enunciato iniziale, sappiamo che non potremo mai garantire che $F$ e $G$ siano omeomorfismi(appunto perchè altrimenti avremmo un controesempio)
cio nonostante,credo che questo non basta a garantire che l'enunciato sia falso; magari esiste comunque un'omeomorfismo, solo che non è detto siano $F$ o $G$.
anche perchè sono riuscito a dimostrare(provateci,è carino) che l'enunciato è equivalente a quest'altro:
siano [tex](X,\mathcal T_x_1)[/tex] [tex](X,\mathcal T_x_2)[/tex][tex](X,\mathcal T_x_3)[/tex] spazi topologici tali che:
[tex](X,\mathcal T_x_1)\cong(X,\mathcal T_x_3)[/tex]
[tex](X,\mathcal T_x_1)\leq (X,\mathcal T_x_2)\leq (X,\mathcal T_x_3)[/tex]
allora:
[tex](X,\mathcal T_x_1)\cong(X,\mathcal T_x_2)\cong(X,\mathcal T_x_3)[/tex]
e questo, a naso, sembra proprio vero.. solo che non riesco a dimostrarlo.
probabilmente questo problema si trasforma in qualcosa di legato ai reticoli..
EDIT nel caso ve lo stesse chiedendo, esistono omeomorfismi tra spazi contenuti non banalmente l'un l'altro.
un esempio, siano $(ZZ,T_1)$ $ZZ$ con la topologia di prima(quella dei positivi) e $(ZZ,T_2)$ tale che $A$ è aperto di $T_2$ se e solo se A contiene solo pari positivi.
ora considerate
$f(z)=2z$ se $z$ è positivo
$f(z)=z/2$ se $z$ è negativo e pari
$f(z)=|z|$ altrove(rimangono solo i dispari negativi e lo 0)
vi assicuro che $f$ è un'omeomorfismo (da $T_1$ a $T_2$), anche perchè in particolare $T_2$ è stato costruito apposta affinchè $f$ sia omeomorfismo.
in questo modo si riesce addirittura a creare una catena infinita di spazi omeomorfi tali che le loro topologiec appartengano ad una catena non banale.
il trucco sta nel trascinare tramite $f$ la topologia $T_2$ su $ZZ$(visto come insieme,non come spazio topologico).
definisco $T_3$ tale che $f$ da $(ZZ,T_2)to(ZZ,T_3)$ sia omeomorfismo,cioè $A$ è aperto in $T_3$ se e solo se $f^{-1}(A)$ è aperto in $T_2$
in questo modo $f$ è un'omeomorfismo,e $T_3$ una topologia.
è chiaro che, a questo punto, iterando il procedimento un numero finito qualsiasi di volte,otteniamo la nostra bella catena.
nel caso del lemma di sopra,quello equivalente al lemma di partenza, da una sitiazione del tipo
$X_1<=X_2<=X_3$ con $X_1=X_3$( "=" è in senso di omeomorfismo)
riusciamo a ricondurci a una del tipo
...$<=X_{z-1}<=X_{z}<=X_{z+1}<=$... con $z$ indicizzato da $ZZ$ e $X_z=X_m$(omeomorfi) se $z=m$(congui modulo2)
da una situazione del genere sembra piu facile trovare un'assurdo(io per ora nn ci riesco)
una cosa carina che si può fare a questo è definire un "limite" per $f$ con l'intersezione di tutti gli elementi della catena ottenuta(l'intersezione albitraria di topologie è una topologia).
allo stesso modo possia definire un limite per $f^{-1}$ come l'unione di tutte le topologie della catena(che nn riesco a dimostare che sia una topologia)
Secondo me stai complicando troppo le cose. Che una funzione continua e bigettiva possa tranquillamente non essere un omeomorfismo è un fatto facile: prendi $theta \in [0, 2\pi) \mapsto e^{i \theta} \in S^1$. Anche un controesempio all'enunciato secondo me non deve essere molto complicato. L'unico fastidio è che occorre evitare spazi compatti, perchè essi rendono omeomorfismi le applicazioni continue e bigettive.
E poi si dice un omeomorfismo, senza apostrofo. "Omeomorfismo" è maschile.
E poi si dice un omeomorfismo, senza apostrofo. "Omeomorfismo" è maschile.
bell'esempio,in effetti mi sono complicato un po la vita XD
spero proprio che tu riesca a trovarlo allora un controesempio, questo problema mi tormenta 24 ore al giorno
spero proprio che tu riesca a trovarlo allora un controesempio, questo problema mi tormenta 24 ore al giorno
@dissonance: però la funzione che proponi tu non risolve 2), mentre quella proposta da paolo.papadia ([tex]\mathbb{Z}[/tex] con gli aperti contenenti i positivi) risolve 2).
Anch'io sono in vena di correzioni linguistiche
Anch'io sono in vena di correzioni linguistiche
nel caso ve lo stesse chiedendo"Steste".
trovare un'assurdoSenza apostrofo.
OUT OF SELF Evviva la squola!
Io, invece, pensavo a spazi topologici con finiti aperti, ma dissonance ha già risolto tale casistica (e meno male che in questi giorni sto lavorando coi compatti).
Non mi resta che passare al caso che siano spazi topologici omòtopi.
Io, invece, pensavo a spazi topologici con finiti aperti, ma dissonance ha già risolto tale casistica (e meno male che in questi giorni sto lavorando coi compatti).
Non mi resta che passare al caso che siano spazi topologici omòtopi.
"j18eos"::-D
OUT OF SELF Evviva la squola!
Sei di buon umore oggi, Armando? Ti vedo spiritoso.
OUT OF SELF Io sono sempre di buon umore, e soprattutto spiritoso; quando non lo sono lo scrivo, per educazione.
Per quanto riguarda il problema, purtroppo le omotopìe sono troppo per me...
Ci tengo solo a ricordare che spazi topologici omeomorfi sono anche omòtopi!
Per quanto riguarda il problema, purtroppo le omotopìe sono troppo per me...
Ci tengo solo a ricordare che spazi topologici omeomorfi sono anche omòtopi!
Pensavo oggi a questo problema, forse le omotopìe sono troppo un pò per tutti, quindi pensavo di muovermi attorno alla compattezza; cioè ipotizzare di lavorare con uno spazio topologico:
1) localmente compatto;
2) compatto per successioni;
3) di Lindelöff!
Non pretendo che soddisfi tutt'e 3 le richieste ma una sola!
1) localmente compatto;
2) compatto per successioni;
3) di Lindelöff!
Non pretendo che soddisfi tutt'e 3 le richieste ma una sola!
pubblico il controesempio trovato da un mio compagno di classe, e finalmente la questione è chiusa(nel caso generale).
la proposizione da confutare è la seguente:
siano [tex](X,\mathcal T_x_1)[/tex] [tex](X,\mathcal T_x_2)[/tex][tex](X,\mathcal T_x_3)[/tex] spazi topologici tali che:
[tex](X,\mathcal T_x_1)\cong(X,\mathcal T_x_3)[/tex]
[tex](X,\mathcal T_x_1)\leq (X,\mathcal T_x_2)\leq (X,\mathcal T_x_3)[/tex]
allora:
[tex](X,\mathcal T_x_1)\cong(X,\mathcal T_x_2)\cong(X,\mathcal T_x_3)[/tex]
sia [tex]X= \mathbb R[/tex]
mentre le 3 famiglie di aperti sono:
(notazione: con [tex]\mathcal T_R[/tex] intendo la topologia euclidea su [tex]\mathbb R[/tex])
[tex]\mathcal T_1=[/tex]la topologia generata dalla base [tex]\mathcal B_1[/tex]
[tex]\mathcal T_2=[/tex]la topologia generata dalla base [tex]\mathcal B_2[/tex]
[tex]\mathcal T_3=[/tex]la topologia generata dalla base [tex]\mathcal B_3[/tex]
e definisco cosi le basi:
[tex]\mathcal A \in \mathcal B_1 \Leftrightarrow \mathcal A \in \mathcal T_R[/tex] oppure [tex]\mathcal A \subseteq [0,1][/tex]
[tex]\mathcal A \in \mathcal B_2 \Leftrightarrow \mathcal A \in \mathcal T_R[/tex] oppure [tex]\mathcal A \subseteq [0,1][/tex] oppure [tex]\mathcal A \subseteq [2,3][/tex]
[tex]\mathcal A \in \mathcal B_3 \Leftrightarrow \mathcal A \in \mathcal T_R[/tex]oppure [tex]\mathcal A \subseteq [0,3][/tex]
in altre parole, sto "aggiungendo" alla topologia euclidea la topologia discreta ristretta ad alcuni intervalli.
ok,per come ho costruito le topologie, direi che è ovvia la relazione
[tex](\mathbb R,\mathcal T_1)\leq (\mathbb R,\mathcal T_2)\leq (\mathbb R,\mathcal T_3)[/tex]
e anche che [tex]F\colon (\mathbb R,\mathcal T_1)\to (\mathbb R,\mathcal T_3)[/tex] con [tex]F(x)=3x[/tex] è un'omeomorfismo, quindi siamo nelle ipotesi del lemma.
però si puo mostrare che non esiste nessun omeomorfismo tra [tex](\mathbb R,\mathcal T_1)[/tex] e [tex](\mathbb R,\mathcal T_2)[/tex]; per farlo ci basta analizzare le loro componenti connesse.
[tex](\mathbb R,\mathcal T_1)[/tex] ha infinite componenti connesse, tutte di cardinalità 1 tranne due di cardinalità infinita.
anche [tex](\mathbb R,\mathcal T_2)[/tex] ha infinite componenti connesse, tutte di cardinalita 1 tranne 3 di cardinalità infinita.
sappiamo bene che un'omoeomorfismo manda componenti connesse in componenti connesse;è quindi chiaro che una componente connessa di cardinalità k venga mandata in una della stessa cardinalita.
per questo motivo non vi puo essere un'omeomorfismo tra i due spazi topologici.
a questo punto può aver senso chiedersi quali condizioni sugli spazi topoligici in questione bastino a garantire la veridicità della proposizione; come aveva suggerito qualcuno, bastano la compattezza piu l'esser T2, ma probabilmente basta molto meno.
ma qui il problema diventa tutt'altro che banale
la proposizione da confutare è la seguente:
siano [tex](X,\mathcal T_x_1)[/tex] [tex](X,\mathcal T_x_2)[/tex][tex](X,\mathcal T_x_3)[/tex] spazi topologici tali che:
[tex](X,\mathcal T_x_1)\cong(X,\mathcal T_x_3)[/tex]
[tex](X,\mathcal T_x_1)\leq (X,\mathcal T_x_2)\leq (X,\mathcal T_x_3)[/tex]
allora:
[tex](X,\mathcal T_x_1)\cong(X,\mathcal T_x_2)\cong(X,\mathcal T_x_3)[/tex]
sia [tex]X= \mathbb R[/tex]
mentre le 3 famiglie di aperti sono:
(notazione: con [tex]\mathcal T_R[/tex] intendo la topologia euclidea su [tex]\mathbb R[/tex])
[tex]\mathcal T_1=[/tex]la topologia generata dalla base [tex]\mathcal B_1[/tex]
[tex]\mathcal T_2=[/tex]la topologia generata dalla base [tex]\mathcal B_2[/tex]
[tex]\mathcal T_3=[/tex]la topologia generata dalla base [tex]\mathcal B_3[/tex]
e definisco cosi le basi:
[tex]\mathcal A \in \mathcal B_1 \Leftrightarrow \mathcal A \in \mathcal T_R[/tex] oppure [tex]\mathcal A \subseteq [0,1][/tex]
[tex]\mathcal A \in \mathcal B_2 \Leftrightarrow \mathcal A \in \mathcal T_R[/tex] oppure [tex]\mathcal A \subseteq [0,1][/tex] oppure [tex]\mathcal A \subseteq [2,3][/tex]
[tex]\mathcal A \in \mathcal B_3 \Leftrightarrow \mathcal A \in \mathcal T_R[/tex]oppure [tex]\mathcal A \subseteq [0,3][/tex]
in altre parole, sto "aggiungendo" alla topologia euclidea la topologia discreta ristretta ad alcuni intervalli.
ok,per come ho costruito le topologie, direi che è ovvia la relazione
[tex](\mathbb R,\mathcal T_1)\leq (\mathbb R,\mathcal T_2)\leq (\mathbb R,\mathcal T_3)[/tex]
e anche che [tex]F\colon (\mathbb R,\mathcal T_1)\to (\mathbb R,\mathcal T_3)[/tex] con [tex]F(x)=3x[/tex] è un'omeomorfismo, quindi siamo nelle ipotesi del lemma.
però si puo mostrare che non esiste nessun omeomorfismo tra [tex](\mathbb R,\mathcal T_1)[/tex] e [tex](\mathbb R,\mathcal T_2)[/tex]; per farlo ci basta analizzare le loro componenti connesse.
[tex](\mathbb R,\mathcal T_1)[/tex] ha infinite componenti connesse, tutte di cardinalità 1 tranne due di cardinalità infinita.
anche [tex](\mathbb R,\mathcal T_2)[/tex] ha infinite componenti connesse, tutte di cardinalita 1 tranne 3 di cardinalità infinita.
sappiamo bene che un'omoeomorfismo manda componenti connesse in componenti connesse;è quindi chiaro che una componente connessa di cardinalità k venga mandata in una della stessa cardinalita.
per questo motivo non vi puo essere un'omeomorfismo tra i due spazi topologici.
a questo punto può aver senso chiedersi quali condizioni sugli spazi topoligici in questione bastino a garantire la veridicità della proposizione; come aveva suggerito qualcuno, bastano la compattezza piu l'esser T2, ma probabilmente basta molto meno.
ma qui il problema diventa tutt'altro che banale
Siano [tex]$(\Omega;\mathcal{T})$[/tex] uno spazio topologico compatto per successioni; ovvero ogni successione [tex]$\{a_n\in\Omega\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] ammette una successione estratta convergente [tex]$\{a_{n_k}\in\Omega\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex] in [tex]$\Omega$[/tex], ed [tex]$f\in\mathrm{Sym}\Omega\cap C(\Omega)$[/tex]; ovvero [tex]$f$[/tex] sia una permutazione di [tex]$\Omega$[/tex] o biezione di [tex]$\Omega$[/tex] in sé continua.
Poiché [tex]$f$[/tex] è continua, essa è continua per successioni(1)!
A questo punto, si aggiunga l'ipotesi che [tex]$(\Omega;\mathcal{T})$[/tex] sia anche uno spazio topologico [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex], quindi si ha l'equivalenza tra continuità e continuità per successioni della funzione [tex]$f$[/tex].
Sia [tex]$\emptyset\neq S\subset\Omega$[/tex], poiché si è aggiunta l'ipotesi [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex], [tex]$\overline S$[/tex] è dato dall'unione di [tex]$S$[/tex] con le classi limite delle successioni in esso(2); essendo:
a) [tex]$f$[/tex] continua, essa trasforma i punti di aderenza di [tex]$S$[/tex] in medesimi di [tex]$f(S)$[/tex];
b) [tex]$f$[/tex] biettiva, essa trasforma le successioni di [tex]$S$[/tex] in medesime di [tex]$f(S)$[/tex];
ciò dimostra che [tex]$\forall\emptyset\neq S\subset\Omega,\,f\big(\overline S\big)=\overline{f(S)}$[/tex], cioè [tex]$f$[/tex] è un automeorfismo(3) di [tex]$(\Omega;\mathcal{T})$[/tex]. [tex]$Q.E.D.\,\Box$[/tex]
Lascio per esercizio ad altri il capire perché gli spazi usati da paolo.papadia non soddisfano le presenti ipotesi!
§§§
(1) Per i dubbiosi, ho controllato!
(2) Siano [tex]$(X;\mathcal{A})$[/tex] uno spazio topologico ed [tex]$\{x_n\in X\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] una successione convergente, la sua classe limite in [tex]$X$[/tex] è l'insieme dei suoi punti limite (in [tex]$X$[/tex]).
(3) L'ho forgiato per l'occasione, intendo un omeomorfismo di uno spazio topologico in sé.
OUT OF SELF Dato che devo ancora riprendermi del tutto dall'esame di Metodi Matematici per la Fisica (click per chi voglia farsi 4 risate a denti stretti), so che non sono stato chiaro ma non so quanto sono stato esatto nei ragionamenti.
Poiché [tex]$f$[/tex] è continua, essa è continua per successioni(1)!
A questo punto, si aggiunga l'ipotesi che [tex]$(\Omega;\mathcal{T})$[/tex] sia anche uno spazio topologico [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex], quindi si ha l'equivalenza tra continuità e continuità per successioni della funzione [tex]$f$[/tex].
Sia [tex]$\emptyset\neq S\subset\Omega$[/tex], poiché si è aggiunta l'ipotesi [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex], [tex]$\overline S$[/tex] è dato dall'unione di [tex]$S$[/tex] con le classi limite delle successioni in esso(2); essendo:
a) [tex]$f$[/tex] continua, essa trasforma i punti di aderenza di [tex]$S$[/tex] in medesimi di [tex]$f(S)$[/tex];
b) [tex]$f$[/tex] biettiva, essa trasforma le successioni di [tex]$S$[/tex] in medesime di [tex]$f(S)$[/tex];
ciò dimostra che [tex]$\forall\emptyset\neq S\subset\Omega,\,f\big(\overline S\big)=\overline{f(S)}$[/tex], cioè [tex]$f$[/tex] è un automeorfismo(3) di [tex]$(\Omega;\mathcal{T})$[/tex]. [tex]$Q.E.D.\,\Box$[/tex]
Lascio per esercizio ad altri il capire perché gli spazi usati da paolo.papadia non soddisfano le presenti ipotesi!
§§§
(1) Per i dubbiosi, ho controllato!
(2) Siano [tex]$(X;\mathcal{A})$[/tex] uno spazio topologico ed [tex]$\{x_n\in X\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] una successione convergente, la sua classe limite in [tex]$X$[/tex] è l'insieme dei suoi punti limite (in [tex]$X$[/tex]).
(3) L'ho forgiato per l'occasione, intendo un omeomorfismo di uno spazio topologico in sé.
OUT OF SELF Dato che devo ancora riprendermi del tutto dall'esame di Metodi Matematici per la Fisica (click per chi voglia farsi 4 risate a denti stretti), so che non sono stato chiaro ma non so quanto sono stato esatto nei ragionamenti.
Scusami j18eos, ma non sono convinto della tua dimostrazione. Mi sembra di capire che vuoi provare la proprietà $f(\bar S)=\bar{f(S)}$ (diamo per buono che da questo segue la continuità di $f^{-1}$). Se
interpreto correttamente quanto scrivi direi che la tua a) significa che da $f$ continua si ricava $f(\bar S)\subset\bar{f(S)}$ - e questo mi trova d'accordo. Da questo punto sono un po' in imbarazzo a seguirti.
Se con la b) intendi che successioni in $S$ (eventualmente convergenti) sono trasformate da $f$ in successioni in $f(S)$ (eventualmente convergenti) hai certamente ragione, ma non vedo come questo ti aiuti nel provare l'inclusione $\bar{f(S)}\subset f(\bar S)$, che è quanto ti manca. Se intendi invece (come mi sembra tu faccia implicitamente) che successioni $f(x_n)$ convergenti PROVENGONO da successioni
$x_n$ convergenti, questo mi pare equivalente alla continuità di $f^{-1}$ che è quanto volevi dimostrare (e che non vedo come segua dal fatto che $f$ è bigettiva).
Ma forse ho interpretato male, o non vedo qualche proprietà evidente ...
interpreto correttamente quanto scrivi direi che la tua a) significa che da $f$ continua si ricava $f(\bar S)\subset\bar{f(S)}$ - e questo mi trova d'accordo. Da questo punto sono un po' in imbarazzo a seguirti.
Se con la b) intendi che successioni in $S$ (eventualmente convergenti) sono trasformate da $f$ in successioni in $f(S)$ (eventualmente convergenti) hai certamente ragione, ma non vedo come questo ti aiuti nel provare l'inclusione $\bar{f(S)}\subset f(\bar S)$, che è quanto ti manca. Se intendi invece (come mi sembra tu faccia implicitamente) che successioni $f(x_n)$ convergenti PROVENGONO da successioni
$x_n$ convergenti, questo mi pare equivalente alla continuità di $f^{-1}$ che è quanto volevi dimostrare (e che non vedo come segua dal fatto che $f$ è bigettiva).
Ma forse ho interpretato male, o non vedo qualche proprietà evidente ...
Mi rendo conto che il punto (b) è abbastanza denso per cui lo sminuzzerò, anche se i miei dubbi sono aumentati più che diminuiti.
Ricapitolando che [tex]$(\Omega;\mathcal{T})$[/tex] è uno spazio topologico compatto per successioni e soddisfacente il primo assioma di numerabilità [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] ed [tex]$f$[/tex] è una sua permutazione continua.
Siano [tex]$\emptyset\neq S\subset\Omega$[/tex], [tex]$\{a_n\in S\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] per l'ipotesi della compattezza per successioni di [tex]$\Omega$[/tex] si ha che esiste una sua successione estratta [tex]$\{a_{n_k}\in S\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex] convergente, per definizione i punti limite di tale successione convergente sono in [tex]$\overline S$[/tex], per l'ipotesi [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] la chiusura di [tex]$S$[/tex] coincide con la sua chiusura per successioni, ovvero: [tex]$\forall\overline x\in\overline S,\,\exists\{x_n\in S\}_{n\in\mathbb{N}}\mid\lim_nx_n\ni\overline x$[/tex].
Da ciò sia [tex]$\{b_n\in f(S)\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] al solito si ha che [tex]$\exists\{b_{n_k}\in f(S)\}_{k\in\mathbb{N}}\mid\lim_kb_{n_k}\subseteq\overline{f(S)}$[/tex], essendo [tex]$f$[/tex] biettiva allora [tex]$\dot\exists\{a_n\in S\}_{n\in\mathbb{N}};\{a_{n_k}\in S\}_{k\in\mathbb{N}}\mid f(a_n)=b_n,\,f(a_{n_k})=b_{n_k}$[/tex], ovviamente non è detto che la successione estratta [tex]$\{a_{n_k}\in S\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex] sia convergente; come ha notato ViscousGoblin, per cui si può considerare una sua successione estratta [tex]$\{a_{n_{k_h}}\in S\}_{h\in\mathbb{N}}$[/tex] convergente.
Poiché [tex]$\{a_{n_{k_h}}\in S\}_{h\in\mathbb{S}}$[/tex] converge in [tex]$\overline S$[/tex] quindi [tex]$\{f(a_{n_{k_h}})\in f(S)\}_{h\in\mathbb{N}}$[/tex] converge in [tex]$f(\overline S)$[/tex], ma tale è una successione estratta di [tex]$\{b_{n_k}\in f(S)\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex] quindi anche quest'ultima converge in [tex]$f(\overline S)$[/tex] quindi [tex]$\overline{f(S)}\subseteq f(\overline S)$[/tex].
Quest'ultima parte mi lascia alquanto perplesso!
§§§
In questo post con [tex]$\lim_na_n$[/tex] intendo la classe limite della successione [tex]$a_n$[/tex].
Ricapitolando che [tex]$(\Omega;\mathcal{T})$[/tex] è uno spazio topologico compatto per successioni e soddisfacente il primo assioma di numerabilità [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] ed [tex]$f$[/tex] è una sua permutazione continua.
Siano [tex]$\emptyset\neq S\subset\Omega$[/tex], [tex]$\{a_n\in S\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] per l'ipotesi della compattezza per successioni di [tex]$\Omega$[/tex] si ha che esiste una sua successione estratta [tex]$\{a_{n_k}\in S\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex] convergente, per definizione i punti limite di tale successione convergente sono in [tex]$\overline S$[/tex], per l'ipotesi [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] la chiusura di [tex]$S$[/tex] coincide con la sua chiusura per successioni, ovvero: [tex]$\forall\overline x\in\overline S,\,\exists\{x_n\in S\}_{n\in\mathbb{N}}\mid\lim_nx_n\ni\overline x$[/tex].
Da ciò sia [tex]$\{b_n\in f(S)\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] al solito si ha che [tex]$\exists\{b_{n_k}\in f(S)\}_{k\in\mathbb{N}}\mid\lim_kb_{n_k}\subseteq\overline{f(S)}$[/tex], essendo [tex]$f$[/tex] biettiva allora [tex]$\dot\exists\{a_n\in S\}_{n\in\mathbb{N}};\{a_{n_k}\in S\}_{k\in\mathbb{N}}\mid f(a_n)=b_n,\,f(a_{n_k})=b_{n_k}$[/tex], ovviamente non è detto che la successione estratta [tex]$\{a_{n_k}\in S\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex] sia convergente; come ha notato ViscousGoblin, per cui si può considerare una sua successione estratta [tex]$\{a_{n_{k_h}}\in S\}_{h\in\mathbb{N}}$[/tex] convergente.
Poiché [tex]$\{a_{n_{k_h}}\in S\}_{h\in\mathbb{S}}$[/tex] converge in [tex]$\overline S$[/tex] quindi [tex]$\{f(a_{n_{k_h}})\in f(S)\}_{h\in\mathbb{N}}$[/tex] converge in [tex]$f(\overline S)$[/tex], ma tale è una successione estratta di [tex]$\{b_{n_k}\in f(S)\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex] quindi anche quest'ultima converge in [tex]$f(\overline S)$[/tex] quindi [tex]$\overline{f(S)}\subseteq f(\overline S)$[/tex].
Quest'ultima parte mi lascia alquanto perplesso!
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In questo post con [tex]$\lim_na_n$[/tex] intendo la classe limite della successione [tex]$a_n$[/tex].
Sono di nuovo qui a romperti le uova nel paniere
Nell'ultimo passaggio stai supponendo - mi pare - che $S$ abbia chiusura compatta. In sostanza hai rifatto (correttamente direi) la dimostrazione del caso di $\Omega$ compatto.
"j18eos":
Da ciò sia [tex]$\{b_n\in f(S)\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] al solito si ha che [tex]$\exists\{b_{n_k}\in f(S)\}_{k\in\mathbb{N}}\mid\lim_kb_{n_k}\subseteq\overline{f(S)}$[/tex], essendo [tex]$f$[/tex] biettiva allora [tex]$\dot\exists\{a_n\in S\}_{n\in\mathbb{N}};\{a_{n_k}\in S\}_{k\in\mathbb{N}}\mid f(a_n)=b_n,\,f(a_{n_k})=b_{n_k}$[/tex], ovviamente non è detto che la successione estratta [tex]$\{a_{n_k}\in S\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex] sia convergente; come ha notato ViscousGoblin, per cui si può considerare una sua successione estratta [tex]$\{a_{n_{k_h}}\in S\}_{h\in\mathbb{N}}$[/tex] convergente.
Nell'ultimo passaggio stai supponendo - mi pare - che $S$ abbia chiusura compatta. In sostanza hai rifatto (correttamente direi) la dimostrazione del caso di $\Omega$ compatto.
No VG, a parte che le uova del mio paniere pur volendo non le puoi rompere 
, poiché ho richiesto la validità dell'assioma [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] la chiusura di [tex]$S$[/tex] coincide con la sua chiusura per successioni(*), l'esistenza della successione estratta convergente è dovuta all'ipotesi della compattezza per successioni di [tex]$\Omega$[/tex]!
§§§
(*) La chiusura per successioni di un insieme non vuoto [tex]$S$[/tex] di uno spazio topologico [tex]$(X;\mathcal{T})$[/tex] è data dall'unione di [tex]$S$[/tex] coi limiti delle successioni di elementi di [tex]$S$[/tex] convergenti (in [tex]$X$[/tex])!
, poiché ho richiesto la validità dell'assioma [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] la chiusura di [tex]$S$[/tex] coincide con la sua chiusura per successioni(*), l'esistenza della successione estratta convergente è dovuta all'ipotesi della compattezza per successioni di [tex]$\Omega$[/tex]!§§§
(*) La chiusura per successioni di un insieme non vuoto [tex]$S$[/tex] di uno spazio topologico [tex]$(X;\mathcal{T})$[/tex] è data dall'unione di [tex]$S$[/tex] coi limiti delle successioni di elementi di [tex]$S$[/tex] convergenti (in [tex]$X$[/tex])!
Scusa - credo di non essermi accorto che avevi messo l'ipotesi di compattezza sequenziale su $\Omega$. Però allora ottieni un teorema che era stato già citato prima (il caso appunto di $\Omega$ compatto), come dicevo nel mio ultimo post (in cui non mi ponevo il problema della distinzione compattezza - compattezza sequenziale).
Peraltro, se ti metti nell'ordine di idee della compattezza, ho l'impressione allora che basti la compattezza "tout-court" invece di quella sequenziale.
Infatti per far vedere che $f^{-1}$ è continua basta dimostrare che la controimmagine di un chiuso $F$ tramite $f^{-1}$ è chiuso. Ma tale controimmagine - dato che $f$ è bigettiva - coincide con $f(F)$ (l'immagine di $F$ tramite $f$). Dato che $F\subset\Omega$ è chiuso e che $\Omega$ è compatto allora $F$ è compatto e quindi essendo $f$ continua anche $f(F)$ è compatto, dunque è chiuso.
Per le due ulmime righe mi serve:
a) un chiuso contenuto in un compatto è compatto;
b) i compatti sono chiusi.
Vedi tu quali (if any) ipotesi sono necessarie sulle topologie perchè a) e b) siano vere ....
Peraltro, se ti metti nell'ordine di idee della compattezza, ho l'impressione allora che basti la compattezza "tout-court" invece di quella sequenziale.
Infatti per far vedere che $f^{-1}$ è continua basta dimostrare che la controimmagine di un chiuso $F$ tramite $f^{-1}$ è chiuso. Ma tale controimmagine - dato che $f$ è bigettiva - coincide con $f(F)$ (l'immagine di $F$ tramite $f$). Dato che $F\subset\Omega$ è chiuso e che $\Omega$ è compatto allora $F$ è compatto e quindi essendo $f$ continua anche $f(F)$ è compatto, dunque è chiuso.
Per le due ulmime righe mi serve:
a) un chiuso contenuto in un compatto è compatto;
b) i compatti sono chiusi.
Vedi tu quali (if any) ipotesi sono necessarie sulle topologie perchè a) e b) siano vere ....
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