[EX] Funzioni assolutamente continue

[Rigel1]

Premetto che sto per proporre un esercizio semplice (che dunque non meriterebbe di stare in questa sezione), ma mi piacerebbe vedere se qualcuno trova una soluzione più semplice/rapida di quella che ho pensato io.

Sia $w: [a,b]\to\RR^n$ una funzione assolutamente continua, e sia $z(t) = |w(t)|$, $t\in [a,b]$.
Dimostrare che $z$ è assolutamente continua e che $z'(t) \le |w'(t)|$ quasi ovunque in $[a,b]$.

[gugo82]

Innanzitutto, lasciami ricordare che:

Una funzione \(u:[a,b] \to \mathbb{R}^n\) si dice assolutamente continua in \([a,b]\) se per ogni \(\varepsilon >0\) esiste un \(\delta >0\) tale che per ogni \(K\in \mathbb{N}\) ed ogni famiglia \(\{[a_k,b_k]\}_{k=1,\ldots ,K}\) di sottointervalli di \([a,b]\) a due a due disgiunti si ha:
\[\sum_{k=1}^K b_k-a_k \leq \delta \qquad \Rightarrow \qquad \sum_{k=1}^K |u(b_k)-u(a_k)|\leq \varepsilon \]
(ovviamente il modulo nella conseguente è quello di \(\mathbb{R}^n\))
La classe delle funzioni assolutamente continue in \([a,b]\) in \(\mathbb{R}^n\) si denota con \(AC([a,b];\mathbb{R}^n)\); nel caso in cui \(n=1\) si preferisce il più breve \(AC([a,b])\).

Alla luce della definizione, l'implicazione \(w\in AC([a,b];\mathbb{R}^n)\ \Rightarrow \ z=|w|\in AC([a,b])\) è un'immediata conseguenza della disuguaglianza triangolare inversa.

A parte: L'altro giorno mi stava venendo un'idea... Perchè non facciamo un thread di controesempi in Analisi?
Ci si potrebbe mettere un po' di tutto, dalla roba elementare a qualcosa di avanzato.

[Rigel1]

@gugo:

Per la questione dell'assoluta continuità anche a me sembra che l'uso della definizione sia la via più breve.
Per l'altra questione, tieni conto che $w$ è a valori in $\RR^n$ (cosa che comunque non invalida il ragionamento sull'assoluta continuità).

[gugo82]

@Righello: Ah, caspita... Non l'avevo proprio visto che avevi funzioni vettoriali!
Mi pareva troppo scema come cosa. Ora vedo di apparare.

[Rigel1]

"gugo82":A parte: L'altro giorno mi stava venendo un'idea... Perchè non facciamo un thread di controesempi in Analisi?
Ci si potrebbe mettere un po' di tutto, dalla roba elementare a qualcosa di avanzato.

Si può fare.
Certo, è un lavoraccio, ma esempio oggi, esempio domani, magari si cumula un po' di roba interessante.

[gugo82]

"Rigel":@gugo:

Per la questione dell'assoluta continuità anche a me sembra che l'uso della definizione sia la via più breve.
Per l'altra questione, tieni conto che $w$ è a valori in $\RR^n$ (cosa che comunque non invalida il ragionamento sull'assoluta continuità).

Probabilmente si può far così...

Sappiamo che \(AC([a,b])\subseteq BV([a,b])\), ergo \(z\) è derivabile q.o.; d'altra parte è \(w=(w_1,\ldots ,w_n)\in AC([a,b];\mathbb{R}^n)\) se e solo se \(w_i\in AC([a,b])\) per \(i=1,\ldots ,n\), quindi pure le \(w_i\) sono derivabili q.o.; inoltre, da \(z^2=\sum_{i=1}^n w_i^2\) si ricava che q.o. vale l'uguaglianza:
\[z\ z^\prime =\sum_{i=1}^n w_i\ w_i^\prime \; .\]
Ora uso un po' di diguguaglianze elementari:
\[\begin{split} z\ z^\prime & \leq \sum_{i=1}^n \frac{1}{4} (w_i+w_i^\prime)^2 \\ &= \frac{1}{4}\ |w|^2 + \frac{1}{2}\ \sum_{i=1}^n w_i\ w_i^\prime +\frac{1}{4}\ |w^\prime|^2 \\ &= \frac{1}{4}\ |w|^2 + \frac{1}{2}\ z\ z^\prime +\frac{1}{4}\ |w^\prime|^2\end{split}\]
sicché:
\[z\ z^\prime \leq \frac{1}{2} (|w|^2+|w^\prime|^2) \leq |w|\ |w^\prime|=z\ |w^\prime|\]
da cui segue la tesi, almeno quando \(z\neq 0\).

D'altra parte, consideriamo l'insieme degli zeri di \(z\): se tale insieme ha misura nulla, stiamo a posto per quanto visto sopra; se non ha misura nulla, allora contiene qualche intervallo in cui \(z=0\) e ciò significa che anche \(w_i =0\) in tale intervallo e perciò \(z^\prime =0=|w^\prime|\), e siamo a posto.

[Rigel1]

"gugo82":

D'altra parte, consideriamo l'insieme degli zeri di \(z\): se tale insieme ha misura nulla, stiamo a posto per quanto visto sopra; se non ha misura nulla, allora contiene qualche intervallo in cui \(z=0\) e ciò significa che anche \(w_i =0\) in tale intervallo e perciò \(z^\prime =0=|w^\prime|\), e siamo a posto.

Questa parte non mi convince: un generico insieme di misura positiva può non contenere alcun intervallo (come succede ad esempio ai cantoriani di misura positiva). Inoltre bisognerebbe far vedere che in quasi ogni punto di tale insieme la derivata è nulla.

[Rigel1]

Posto la mia soluzione.

Come già osservato da gugo, il fatto che $z\in AC$ discende direttamente dalla definizione di assoluta continuità; infatti, se $[c,d]\subset [a,b]$,
$|z(d) - z(c)| = | |w(d)| - |w(c)| | \le |w(d) - w(c)|$
e dunque l'assoluta continuità di $w$ implica quella di $z$.

Più in generale, se $f:\RR^n\to\RR$ è una funzione Lipschitziana e $w$ è assolutamente continua, un ragionamento del tutto analogo mostra che la funzione composta $z(t) = f(w(t))$ è assolutamente continua.

Dimostriamo, in questo setting più generale, che se $L$ è la costante di Lipschitz di $f$ allora \(|z'(t)| \le L|w'(t)|\) per quasi ogni $t\in [a,b]$.
Indichiamo con $A$ il sottoinsieme di $[a,b]$ nel quale sia $z$ che $w$ sono differenziabili; poiché sia $z$ che $w$ sono differenziabili quasi ovunque, avremo che \( m([a,b]\setminus A) = 0 \).
Se $t\in A$ e $h\ne 0$ abbiamo che
\[ \left| \frac{z(t+h)-z(t)}{h}\right| = \left| \frac{f(w(t+h)) - f(w(t))}{h}\right| \leq L \left|\frac{w(t+h)-w(t)}{h}\right| \]
e dunque, passando al limite per $h\to 0$, otteniamo la disuguaglianza cercata.

[gugo82]

@Righello: Effettivamente a rileggerlo il finale non mi pare un granché... Quindi l'idea di usare le disuguaglianze elementari, che sembra più semplice e carina, porta ad un punto abbastanza morto.