Cardinalità dei reali
CARDINALITÀ DEI REALI
Se non mi sbaglio tra due insiemi, anche equipotenti, è sempre possibile creare una relazione non-biunivoca.
Es: prendo due insiemi $A$ e $B$ entrambi contenenti tutti i numeri naturali. Poi associo $n in A$ con il corrisponde $2*n in B$. Ora ogni elemento di $A$ avrà un'immagine in $B$, ma non viceversa perchè i dispari in $B$ saranno senza immagine.
Quindi si conclude che due insiemi sono equipotenti se è possibili creare una relazione biunivoca in almeno un modo.
Penso che voi conosciate il metodo di Cantor per dire che $|NN|=|QQ|$. Attraverso le diagonali, se vengono disposti i numeri in questo modo (in verticale il numeratore ed in orizzontale il denominatore):
1 2 3 4 5 ...
1
2
3
4
5
...
Gli accoppiamenti risultano in ordine num-den risultano:
1-1
1-2
2-1
1-3
2-2
3-1
...
Ora considero i numeri reali: sono tutti della forma $(n/d)^(1/r)$
{la scrivo così perchè al posto dell'1 sarebbe inutile mettere u'altra incognita perchè se $x in QQ$ e $y in NN$, allora $x^y in QQ$: cioè può essere scritto come $x$.}
A questo punto metto i possibili valori in $NN$ acquisibili da $n$,$d$ e $r$.
n 1 2 3 4 5 ...
d 1 2 3 4 5 ...
r 1 2 3 4 5 ...
Ora analizzo gli accoppiamenti di Cantor.
Noto che i criteri per ordinarli sono in primis la somma n+d e di conseguenza il valore di n (si privilegia il valore minore).
A questo punto faccio la stessa cosa con tre elementi al posto di due.
Posso fare
n-d-r
1-1-1
1-1-2
1-2-1
2-1-1
1-1-3
1-2-2
1-3-1
2-1-2
2-2-1
3-1-1
...
Dove per esempio 2-2-1 significa $2/2=1$ ed 1-2-2 significa $sqrt (1/2)$.
Il problema dell'uguaglianza tra per esempio 1-2-3 e 2-4-3 non sussiste perchè lo stesso si avrebbe con $NN$ e $QQ$ per l'uguaglianza tra 1-2 e 2-4
Non ho creato una relazione biunivoca tra gli elementi di $RR$ con quelli di $NN$?
Se non mi sbaglio tra due insiemi, anche equipotenti, è sempre possibile creare una relazione non-biunivoca.
Es: prendo due insiemi $A$ e $B$ entrambi contenenti tutti i numeri naturali. Poi associo $n in A$ con il corrisponde $2*n in B$. Ora ogni elemento di $A$ avrà un'immagine in $B$, ma non viceversa perchè i dispari in $B$ saranno senza immagine.
Quindi si conclude che due insiemi sono equipotenti se è possibili creare una relazione biunivoca in almeno un modo.
Penso che voi conosciate il metodo di Cantor per dire che $|NN|=|QQ|$. Attraverso le diagonali, se vengono disposti i numeri in questo modo (in verticale il numeratore ed in orizzontale il denominatore):
1 2 3 4 5 ...
1
2
3
4
5
...
Gli accoppiamenti risultano in ordine num-den risultano:
1-1
1-2
2-1
1-3
2-2
3-1
...
Ora considero i numeri reali: sono tutti della forma $(n/d)^(1/r)$
{la scrivo così perchè al posto dell'1 sarebbe inutile mettere u'altra incognita perchè se $x in QQ$ e $y in NN$, allora $x^y in QQ$: cioè può essere scritto come $x$.}
A questo punto metto i possibili valori in $NN$ acquisibili da $n$,$d$ e $r$.
n 1 2 3 4 5 ...
d 1 2 3 4 5 ...
r 1 2 3 4 5 ...
Ora analizzo gli accoppiamenti di Cantor.
Noto che i criteri per ordinarli sono in primis la somma n+d e di conseguenza il valore di n (si privilegia il valore minore).
A questo punto faccio la stessa cosa con tre elementi al posto di due.
Posso fare
n-d-r
1-1-1
1-1-2
1-2-1
2-1-1
1-1-3
1-2-2
1-3-1
2-1-2
2-2-1
3-1-1
...
Dove per esempio 2-2-1 significa $2/2=1$ ed 1-2-2 significa $sqrt (1/2)$.
Il problema dell'uguaglianza tra per esempio 1-2-3 e 2-4-3 non sussiste perchè lo stesso si avrebbe con $NN$ e $QQ$ per l'uguaglianza tra 1-2 e 2-4
Non ho creato una relazione biunivoca tra gli elementi di $RR$ con quelli di $NN$?
Risposte
"kobeilprofeta":Ma quando mai... pensa a \(\pi\) ottenuto mediante il metodo di esaustione di Archimede, mica lo puoi scrivere come il radicale di una frazione?
...Ora considero i numeri reali: sono tutti della forma $(n/d)^(1/r)$...
"j18eos":
[quote="kobeilprofeta"]...Ora considero i numeri reali: sono tutti della forma $(n/d)^(1/r)$...
Ma quando mai... [...][/quote]
Se non erro, i numeri del tipo che hai scritto tu sono algebrici, perché si possono pensare come soluzione di un'equazione: si può dimostrare - non so se nel modo che hai fatto tu o in un altro modo - che i numeri algebrici come cardinalità sono uguali ai naturali.
(EDIT. Non ero sicurissimo di quest'ultima affermazione, perciò ho ricontrollato su wiki alla voce "numero algebrico"
).PS.
Se non erro eri tu che volevi approfondire qualcosa di nuovo o imparare qualcosa di nuovo o... una cosa simile e avevi aperto un thread apposito nella sezione "leggimi questo".
Posso allora consigliarti di documentarti su tutta questa teoria che sta dietro alla matematica dell'infinito.
Non ti sbagli Zero87, anzi, c'è un teorema dovuto a Cantor in merito ai numeri algebrici (su \(\mathbb{Q}\)): essi sono numerabili, mentre i numeri trascendenti (su \(\mathbb{Q}\)) sono infiniti continui!
Me lo sono ricordato or ora!
Me lo sono ricordato or ora!
Grazie per le risposte.
@j18eos
Hai ragione, non avevo pensato a quelli...grazie per l'osservazione, continuerò a ragionarci e magari arriverò a qualcosa
@zero87
Esatto sono proprio io quello che chiedva di imparare qualcosa di nuovo... raccolgo il tuo invito e mi dedico un po' a queste cose... Sul web, wiki escluso, sai magari dove posso trovare qualcosa di interessante? Perchè le mie conoscenze sono ristrette e le uniche cose che sono riuscito a cercare in merito sono le pagine di wiki che parlano di cardinalità infinita (aleph 0,1,2). Per il momento darò un'occhiata al numero algebrico, poi aspetterò "soffiate" su argomenti riguardanti la matematica dell'infinito...
@j18eos
Hai ragione, non avevo pensato a quelli...grazie per l'osservazione, continuerò a ragionarci e magari arriverò a qualcosa
@zero87
Esatto sono proprio io quello che chiedva di imparare qualcosa di nuovo... raccolgo il tuo invito e mi dedico un po' a queste cose... Sul web, wiki escluso, sai magari dove posso trovare qualcosa di interessante? Perchè le mie conoscenze sono ristrette e le uniche cose che sono riuscito a cercare in merito sono le pagine di wiki che parlano di cardinalità infinita (aleph 0,1,2). Per il momento darò un'occhiata al numero algebrico, poi aspetterò "soffiate" su argomenti riguardanti la matematica dell'infinito...
"kobeilprofeta":
@zero87
Sul web, wiki escluso, sai magari dove posso trovare qualcosa di interessante? Perchè le mie conoscenze sono ristrette e le uniche cose che sono riuscito a cercare in merito sono le pagine di wiki che parlano di cardinalità infinita (aleph 0,1,2).
L'unica cosa che ho a portata di click è questa
http://matematica.unibocconi.it/articol ... -paradossi
che, però, è abbastanza chiacchierosa e non dà tantissime risposte... un po' come non pochi interventi miei.
Tuttavia è un punto di partenza per entrare in certi mondi o per lo meno per aprire la testa a termini nuovi: ricordo che avevo già parlato con te di infiniti et simila in un altro thread tuo nella sezione scervelliamoci un po' che però si chiamava... si chiamava... problemi qualcosa...?
Va beh, a parte gli scherzi: premetto che pesco nella memoria quindi posso essere smentito, almeno in qualche particolare. Cito molti nomi in modo che puoi cercare anche tu qualcosa in merito se lo trovi prima di noi: io, ad esempio, sono abbastanza google-negato e in genere apro tutti i documenti oppure non azzecco mai efficacemente le parole chiave (tuttavia ho scoperto che la ricerca su google in molti casi va abbastanza a fortuna!).
Il punto di partenza è la seguente affermazione
"due insiemi hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due".
Non ricordo se questa affermazione è di per sé un assioma (assiomi ZF in questo caso) oppure se si dimostra a partire dai già citati assiomi di Zermelo-Fraenkel.
Fatto sta che questa frasetta è abbastanza convincente nel caso di insiemi con un numero finito di elementi mentre diventa parecchio stramba nel caso di insiemi con infiniti elementi.
A questa segue tutta una tiritera di dimostrazioni più o meno simili e più o meno contorte che arrivano ai seguenti risultati:
- $|\NN|=|\QQ|=|\ZZ|=|\NN^k| = |\ZZ^k| = |\QQ^k|= ...$ e altri esempi simili (per esempio insiemi infiniti di questi elencati) e questa cardinalità, detta $\aleph_0$ è detta numerabile e tutti questi insiemi che hanno questa cardinalità sono detti numerabili. Ricordo, infatti, che "strettamente parlando", il termine "numerabile" vuol dire proprio "in corrispondenza biunivoca con $\NN$".
- $|\RR|= |\CC| = |\RR^k| = |[a,b]|=...$ (con $a\ne b$ e l'intervallo può essere anche aperto o semiaperto) e altri hanno la stessa cardinalità - diversa da quella precedente - che è detta "cardinalità/potenza del continuo" e si indica con $c$.
Nell'altro thread che ora non riesco a trovare l'avevo scritto anche meglio...
Comunque, ti faccio un esempio pratico (e molto semplice tra l'altro).
Voglio dimostrare che $|[-\pi/2, \pi/2]|= |\RR|$.
Secondo quanto detto, basta dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca tra l'intervallo $[-\pi/2, \pi/2]$ e $|\RR|$ e tale corrispondenza biunivoca, di fatto, è la funzione tangente.
Ricordo, infatti, che la tangente - ristretta a $[-\pi/2 , \pi/2]$ come dominio - è biettiva.
EDIT
Trovato
viewtopic.php?p=730458#p730458
Sto scrivendo una dispensa, su queste ed altre cose. Verrà il giorno in cui la renderò "pubblica".
"Delirium":
Sto scrivendo una dispensa, su queste ed altre cose. Verrà il giorno in cui la renderò "pubblica".
Posso prenotarmi per leggerla?
"Zero87":
[quote="Delirium"]Sto scrivendo una dispensa, su queste ed altre cose. Verrà il giorno in cui la renderò "pubblica".
Posso prenotarmi per leggerla?[/quote]
Addirittura una prenotazione
? Ebbene, tanto per continuare con le manzoniane citazioni, sarai uno dei miei (venti)cinque lettori... 
"Delirium":
Addirittura una prenotazione
Amo molto argomenti riguardo cardinalità e infiniti, ma forse lo si era capito da qualche mia risposta...
L'idea è quella di dare un riferimento "abbordabile" (le virgolette perché sempre di Matematica universitaria si tratta) a coloro che, periodicamente, sparano le loro bestiate (non mi riferisco a questo topic) su infinito e dintorni.
@zero87
Sì, in effetti mi ricordo di aver sparato un'altra boiata qua...ma onestamente non credo che queste due siano le prime ed ultime... D'altronde non si finisce mai di...sbagliare!! ahah
Comunque ringrazio sempre tutti quelli che mi rispondono chiarendomi le idee
Sì, in effetti mi ricordo di aver sparato un'altra boiata qua...ma onestamente non credo che queste due siano le prime ed ultime... D'altronde non si finisce mai di...sbagliare!! ahah
Comunque ringrazio sempre tutti quelli che mi rispondono chiarendomi le idee
"kobeilprofeta":
@zero87 [...]
Nessuno nasce imparato e il forum è anche un luogo per chiarire le idee.
Poi... sapessi quante cavolate ho scritto (e scrivo) io...!
@kobeilprofeta: non so con chi ce l'avessi, ma in realtà io avevo detto
Se hai voglia, ti invito a leggere quanto avevo scritto qui e qui: potresti trovare ancora qualche spunto interessante.
"Delirium":
[...] (non mi riferisco a questo topic) [...]
Se hai voglia, ti invito a leggere quanto avevo scritto qui e qui: potresti trovare ancora qualche spunto interessante.
"Delirium":
...Addirittura una prenotazione
Toc toc , vorrei prenotarmi anche io : 26 lettori
"Stellinelm":
[quote="Delirium"]
...Addirittura una prenotazione
Toc toc , vorrei prenotarmi anche io : 26 lettori
[/quote]Idem
L'infinito tira, eh?
"Zero87":
L'infinito tira, eh?
infinitamente
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo