$A_nx_n \to 0$ forte per ogni $x_n$ w-convergente

[Paolo902]

E' un problema di un concorso di ammissione al dottorato SISSA di qualche anno fa ed è uno di quelli che non sono riuscito a risolvere completamente mentre preparavo lo scritto di Analisi Funzionale. Ve lo propongo qui, anche perché mi pare piuttosto carino, magari insieme riusciamo a concluderlo per bene.

Problema. Sia $H$ uno spazio di Hilbert e $A_n : H to H$ una successione di operatori lineari limitati. Si supponga che $A_nx_n\to 0$ converga fortemente per ogni sequenza $(x_n)_n \subset H$ debolmente convergente.

Provare che \( \Vert A_n \Vert \to 0\).

Con un (caro) collega, forse abbiamo trovato una soluzione che usa Eberlein-Smulian, ma forse c'è sotto qualcosa di più semplice che ora mi sfugge.

[Rigel1]

Credo sia lecito, per lo svolgimento di questo esercizio, usare il fatto che da ogni successione limitata in uno spazio di Hilbert si possa estrarre una sottosuccessione debolmente convergente.