Proiettività della retta su un campo finito: Ex Esotico
Sia $K$ un campo finito sia $P=P_1(K)$ la retta proiettiva su $K$ e $F:P -> P$ una proiettività.
Si consideri $F$ come una permutazione dell'insieme finito $P$ e sia $F=C_1 \circ ... \circ C_r$ la sua decomposizione in ciclli disgiunti.
Dimostrare che i cicli hanno tutti la stessa lunghezza oppure hanno solo 2 possibili lunghezze.
Cosa si può dire per le proiettività del piano proiettivo?
la mia idea di partenza è la seguente: la proiettività è una matrice $2xx2$ in $G=PGL_2(K)$ che è un gruppo finito che agisce su l'insieme finito $P1(K)$ vorrei utilizzare il teorema di teoria delle azioni di gruppi che dice lunghezza dell'orbita = indice dello stabilizzatore (che sarà quindi un divisore dell'ordine del gruppo).
Chiaramente l'orbita di un punto di $P$ è la lunghezza di un ciclo (i cicli sono disgiunti) e quindi bisognerà calcolare l'ordine di $G$ e dimostrare che se un punto ha un orbita lunga d (un fissato divisore di $|G|$) allora anche tutti gli altri devono avere orbite della stessa lunghezza. La seconda possibile lunghezza penso sia 1 cioè collegata al fatto che la proiettività $F$ abbia o meno punti fissi.
Io sono uno studente al terzo anno, questo esercizio me l'ha dato un professore, diciamo molto esigente, nello scritto di geometria 2... Io le idee qui sopra le ho prese da altri corsi e lavorando un po' con i miei compagni di corso, il problema è che non siamo in grado di formalizzare per bene la questione e quindi non siamo per nulla sicuri che le nostre intuizioni siano corrette.
Inoltre non siamo in grado di dimostrare l'ultima parte sulla lunghezza delle orbite che devono essere tutte uguali.
Any help will be appreciated!
Si consideri $F$ come una permutazione dell'insieme finito $P$ e sia $F=C_1 \circ ... \circ C_r$ la sua decomposizione in ciclli disgiunti.
Dimostrare che i cicli hanno tutti la stessa lunghezza oppure hanno solo 2 possibili lunghezze.
Cosa si può dire per le proiettività del piano proiettivo?
la mia idea di partenza è la seguente: la proiettività è una matrice $2xx2$ in $G=PGL_2(K)$ che è un gruppo finito che agisce su l'insieme finito $P1(K)$ vorrei utilizzare il teorema di teoria delle azioni di gruppi che dice lunghezza dell'orbita = indice dello stabilizzatore (che sarà quindi un divisore dell'ordine del gruppo).
Chiaramente l'orbita di un punto di $P$ è la lunghezza di un ciclo (i cicli sono disgiunti) e quindi bisognerà calcolare l'ordine di $G$ e dimostrare che se un punto ha un orbita lunga d (un fissato divisore di $|G|$) allora anche tutti gli altri devono avere orbite della stessa lunghezza. La seconda possibile lunghezza penso sia 1 cioè collegata al fatto che la proiettività $F$ abbia o meno punti fissi.
Io sono uno studente al terzo anno, questo esercizio me l'ha dato un professore, diciamo molto esigente, nello scritto di geometria 2... Io le idee qui sopra le ho prese da altri corsi e lavorando un po' con i miei compagni di corso, il problema è che non siamo in grado di formalizzare per bene la questione e quindi non siamo per nulla sicuri che le nostre intuizioni siano corrette.
Inoltre non siamo in grado di dimostrare l'ultima parte sulla lunghezza delle orbite che devono essere tutte uguali.
Any help will be appreciated!
Risposte
Il mio help è stato aggiustarti le formule... 
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