Equazioni funzionali
Io ho date due funzioni $h$ e $g$ di dominio mettiamo $RR$ e a valori in $RR$ tali che $g(x)=g(h(x)) AA x in K$
Quali condizioni esplicite posso trovare per una certa $f$ (ammesso che esista) tale che $f(g(x))=f(g(y)) AA x,y in K$ ?
Di più, se ho un altre funzioni $t_i$ del tipo di $h$ e cioè tale che $g(x)=g(t_i(x)) AA x in K, AA i$ posso sperare che una $f$ definita come sopra esista e sia unica?
Ad esempio, $h(x)=-x$ e $g(x)=|x|$ ho che $g(x)=g(h(x)) AA x in RR$ e posso trovare "a mano" $f$, definendola come la funzione segno.
La mia domanda generale è: date questo tipo di condizioni su $g$ e su $h$ come posso tradurle analiticamente per trovare condizioni su una tale $f$ richiesta?
Mi sarebbero anche di aiuto delle dispense di equazioni funzionali che affrontino un problema del genere, ho cercato un po' ma senza successo...
Quali condizioni esplicite posso trovare per una certa $f$ (ammesso che esista) tale che $f(g(x))=f(g(y)) AA x,y in K$ ?
Di più, se ho un altre funzioni $t_i$ del tipo di $h$ e cioè tale che $g(x)=g(t_i(x)) AA x in K, AA i$ posso sperare che una $f$ definita come sopra esista e sia unica?
Ad esempio, $h(x)=-x$ e $g(x)=|x|$ ho che $g(x)=g(h(x)) AA x in RR$ e posso trovare "a mano" $f$, definendola come la funzione segno.
La mia domanda generale è: date questo tipo di condizioni su $g$ e su $h$ come posso tradurle analiticamente per trovare condizioni su una tale $f$ richiesta?
Mi sarebbero anche di aiuto delle dispense di equazioni funzionali che affrontino un problema del genere, ho cercato un po' ma senza successo...
Risposte
Beh, intanto secondo me bisognerebbe vedere se $K \subseteq \mathbb{R}$ e poi vedere come è caratterizzato. Io l'ho interpretato come un intervallo aperto di $\mathbb{R}$ e così facendo per esempio l'unica condizione esplicita che mi viene in mente è che $f$ sia costante, perchè altrimenti dipenderebbe da cosa fa $g$ $ \forall x \in K$.
Infatti la $f$ dovrebbe essere non iniettiva nell'intorno di ogni punto dell'aperto $K$ e intuitivamente mi sembra possibile solo così.
Cosa diversa sarebbe se $K$ fosse un sottoinsieme finito o numerabile di $\mathbb{R}$. In questa ultima ipotesi mi verrebbe da dire che la $f$ potrebbe essere più complicata. Sinceramente mi sembra il caso più plausibile...
Infatti la $f$ dovrebbe essere non iniettiva nell'intorno di ogni punto dell'aperto $K$ e intuitivamente mi sembra possibile solo così.
Cosa diversa sarebbe se $K$ fosse un sottoinsieme finito o numerabile di $\mathbb{R}$. In questa ultima ipotesi mi verrebbe da dire che la $f$ potrebbe essere più complicata. Sinceramente mi sembra il caso più plausibile...
"nato_pigro":
Io ho date due funzioni $h$ e $g$ di dominio mettiamo $RR$ e a valori in $RR$ tali che $g(x)=g(h(x)) AA x in K$
Quali condizioni esplicite posso trovare per una certa $f$ (ammesso che esista) tale che $f(g(x))=f(g(y)) AA x,y in K$ ?
Di più, se ho un altre funzioni $t_i$ del tipo di $h$ e cioè tale che $g(x)=g(t_i(x)) AA x in K, AA i$ posso sperare che una $f$ definita come sopra esista e sia unica?
Ad esempio, $h(x)=-x$ e $g(x)=|x|$ ho che $g(x)=g(h(x)) AA x in RR$ e posso trovare "a mano" $f$, definendola come la funzione segno.
La mia domanda generale è: date questo tipo di condizioni su $g$ e su $h$ come posso tradurle analiticamente per trovare condizioni su una tale $f$ richiesta?
Mi sarebbero anche di aiuto delle dispense di equazioni funzionali che affrontino un problema del genere, ho cercato un po' ma senza successo...
Forse non ho capito bene il problema (cosa più probabile) ma a me sembra che sia necessario e sufficiente che la funzione $f$ sia costante quando prende valori nell'insieme $g(K) = {g(x)| x in K}$ ossia
$EE! e in RR, AA x in g(K), f(x) = e$, Le $f$ che soddisfano questa condizione sono le stesse che soddisfano l'altra.
1) Se $f$ è costante in $g(K)$ con valore $e$ allora abbiamo $AA x, y in K, f(g(x)))= e = f(g(y)))$.
2) Viceversa assumiamo che $AA x, y in K, f(g(x)))= f(g(y)))$, e supponiamo per assurdo che $f$ non sia costante in $g(K)$, si avrà che $EE a, b in g(K), f(a) \ne f(b)$ siccome $a, b$ sono nell'insieme delle immagini, per qualche $c$ e $d$ in $K$ si avrà che $g(c) = a, g(d) = b$, sostituendo si va contro l'ipotesi $AA x, y in K, f(g(x)))= f(g(y)))$.
Di sicuro non è unica, ne puoi creare diverse in relazione all'elemento costante preso per costruire la funzione, poi con gli $x$ fuori da $g(K)$, $f$ si può comportare a piacere, ossia $f(x)$ può assumere che valore si desidera
Non so mi sembra troppo semplice... Bo, per questo credo di non aver capito.
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