Una ricorsione...molto difficile
Si consideri la successione ${a_n,n\in N}$ definita con la seguente ricorsione :
\begin{cases} a_0=\frac{1}{2},a_1=\frac{1}{5} \\ a_{n}=\frac{a_{n-2}\cdot a_{n-1}}{5a_{n-2}-6a_{n-1}} \text{ per n} \geq 2 \end{cases}
Calcolare il valore formale di $a_{3000}$
"Valore formale " significa che se, per esempio, fosse $a_{3000}=2^{3000}$ non è che dovete spiattellarmi il calcolo di 2 moltiplicato per se stesso tremila volte ( per carità
!) ma dovete indicarlo semplicemente come $2^{3000}$...
P.S. Il "molto difficile" del titolo serve solo per ...spaventarvi un pochino
. In realtà si risolve abbastanza alla svelta, avendo qualche nozione sulle ricorsioni.
Dimenticavo: saranno respinte al mittente le soluzioni ad ...intuito
\begin{cases} a_0=\frac{1}{2},a_1=\frac{1}{5} \\ a_{n}=\frac{a_{n-2}\cdot a_{n-1}}{5a_{n-2}-6a_{n-1}} \text{ per n} \geq 2 \end{cases}
Calcolare il valore formale di $a_{3000}$
"Valore formale " significa che se, per esempio, fosse $a_{3000}=2^{3000}$ non è che dovete spiattellarmi il calcolo di 2 moltiplicato per se stesso tremila volte ( per carità
!) ma dovete indicarlo semplicemente come $2^{3000}$...P.S. Il "molto difficile" del titolo serve solo per ...spaventarvi un pochino
. In realtà si risolve abbastanza alla svelta, avendo qualche nozione sulle ricorsioni. Dimenticavo: saranno respinte al mittente le soluzioni ad ...intuito
Risposte
"ciromario":
Si consideri la successione ${a_n,n\in N}$ definita con la seguente ricorsione :
\begin{cases} a_0=\frac{1}{2},a_1=\frac{1}{5} \\ a_{n}=\frac{a_{n-2}\cdot a_{n-1}}{5a_{n-2}-6a_{n-1}} \text{ per n} \geq 2 \end{cases}
Calcolare il valore formale di $a_{3000}$
Ponendo $b_n = 1/a_n$, si ottiene
[tex]\begin{cases} b_0=2,b_1=5 \\ b_{n}=5b_{n-1}-6b_{n-2} \text{ per n} \geq 2 \end{cases}[/tex]
Applicando lo stesso trucco standard che si usa per i numeri di Fibonacci, si ha
[tex]\left(
\begin{array}{c}
b_n \\
b_{n-1}
\end{array}\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
5 & -6 \\
1 & 0
\end{array}\right)^{n-1} \cdot
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_0
\end{array}\right)[/tex]
Da cui (generalizzando per $b_0$ e $b_1$ qualsiasi)
[tex]b_n(b_0,b_1) = (b_1-2b_0)2^n + (3b_0-b_1)3^n[/tex]
Nel nostro caso
[tex]a_n = \frac{1}{2^n+3^n}[/tex]
Una soluzione alternativa. Come si fa per le EDO, ipotizzo che la ricorsione lineare, a coefficienti costanti, in $b_n$ abbia una soluzione del tipo $b_n=lambda^n,lambda ne 0$. Sostituendo, l'equazione diventa :
$\lambda^n-5 lambda^{n-1}+6 lambda^{n-2}=0$, oppure semplificando: $lambda^2-5lambda+6=0$, da cui le soluzioni : $lambda_1=2,lambda_2=3$
Abbiamo quindi le soluzioni particolari $b_n=2^n,b_n=3^n$. La soluzione generale sarà allora:
$b_n=A\cdot 2^n+B \cdot 3^n$ con A e B costanti da determinare in base alle condizioni iniziali.
Imponendo che sia $b_0=2,b_1=5$, si ha :$A=B=1$ e dunque la soluzione generale è : $b_n=2^n+3^n$
Pertanto la soluzione richiesta è : $a_n=1/{2^n+3^n}$
$\lambda^n-5 lambda^{n-1}+6 lambda^{n-2}=0$, oppure semplificando: $lambda^2-5lambda+6=0$, da cui le soluzioni : $lambda_1=2,lambda_2=3$
Abbiamo quindi le soluzioni particolari $b_n=2^n,b_n=3^n$. La soluzione generale sarà allora:
$b_n=A\cdot 2^n+B \cdot 3^n$ con A e B costanti da determinare in base alle condizioni iniziali.
Imponendo che sia $b_0=2,b_1=5$, si ha :$A=B=1$ e dunque la soluzione generale è : $b_n=2^n+3^n$
Pertanto la soluzione richiesta è : $a_n=1/{2^n+3^n}$
"ciromario":
Sostituendo, l'equazione diventa :
$\lambda^n-5 lambda^{n-1}+6 lambda^{n-2}=0$, oppure semplificando: $lambda^2-5lambda+6=0$, da cui le soluzioni : $lambda_1=2,lambda_2=3$
E, molto divertentemente, quella e' proprio l'equazione agli autovalori della matrice che mi sono ritrovato io
Come diceva un mio professore, e' bello vedere una faccia conosciuta
Gentile yoshiharu non te la prendere se ho ritenuto di chiarire la tua soluzione con un procedimento, concettualmente simile al tuo, ma operativamente meno...ermetico.
"ciromario":
Gentile yoshiharu non te la prendere se ho ritenuto di chiarire la tua soluzione con un procedimento, concettualmente simile al tuo, ma operativamente meno...ermetico.
Figurati, perche' avrei dovuto prendermela?: facevo solo notare il punto di contatto tra i due procedimenti, visto che mi sembrava divertente.
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