Ortocentro

[Sk_Anonymous]

Nel triangolo ABC i vertici A e B hanno una posizione fissa sulla retta n del lato AB, mentre il vertice C può variare liberamente sulla retta a, parallela ad n e posta ad una distanza fissata da n ( vedi figura).
Si chiede di dimostrare ( per via sintetica. La dimostrazione analitica? Un orrore ) che il luogo dell'ortocentro E di ABC, al variare di C su a, è una parabola passante per A e B ed avente l'asse perpendicolare ad a medesima.
Premendo il triangolino in basso a sinistra della figura si avrà una simpatica animazione di quanto richiesto. Un riclick fermerà l'animazione...
[geogebra][/geogebra]

[totissimus]

Ho tentato la risoluzione analitica che non mi pare un orrore..

Prendo la retta \( AB\) come asse delle ascisse, l'origine in \( A\), e la distanza tra le due rette parallele come unità.
Indico con \( H\) l'ortocentro.

\( A=(0,0), B=(0,a), C=(1,y), H=(x,y)\)

I seguenti vettori sono perpendicolari:

\( \overrightarrow{AC}=(1,y)\), \( \overrightarrow{BH}=(x,y-a)\)

quindi:

\( x+y(y-a)=0\)

\( x+y^2-ay=0\)

cioè l'equazione della parabola richiesta.

La risoluzione sintetica sarà sicuramente più interessante e la lascio ad altri.

[Sk_Anonymous]

Avendo scelto come asse x la retta di AB, l'equazione del luogo dovrebbe essere del tipo $y=ax^2+bx+c$, mentre tu hai fatto il contrario. L'errore dipende dal fatto che il punto C va indicato con $C(x,c)$, essendo c la distanza fissa tra le rette a ed n ( ho posto la distanza uguale a c e non uguale ad 1 per maggiore generalità). La soluzione sintetica è molto rapida ma richiede qualche nozione di proiettiva ed è per questo che ho postato il quesito nella sezione presente.
P.S. Totissimus è la seconda volta che ti fai cogliere in flagranza di... reato ! Siamo un po' distrattucci

[totissimus]

Hai ragione ho un pò la testa tra le nuvole!