Polinomi armonici
Un polinomio \(f \in \mathbb{R}[x,y]\) è armonico se soddisfa l'equazione \[\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2} = 0\] per ogni coppia \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).
Posto \(z = x+iy\), per ogni \(k \geq 0\) definiamo i polinomi armonici \[[z^k] = \Re (z^k) \quad \text{e} \quad i[z^k] = \Im(z^k)\]
Vi propongo questo esercizio (anche per vedere se ho fatto bene i conti):
se \(f \in \mathbb{R}[x,y]\) è armonico e si scrive come\[f(x,y) = a_{0,0} + \sum_{p,q > 0} a_{p,q}\,x^p y^q\] allora
\[
f(x,y) = a_{0,0} + \sum_{p,q > 0} \frac{a_{p,q}}{2^{p+q-1}} i^{q}[z^{p+q}]
\]
Posto \(z = x+iy\), per ogni \(k \geq 0\) definiamo i polinomi armonici \[[z^k] = \Re (z^k) \quad \text{e} \quad i[z^k] = \Im(z^k)\]
Vi propongo questo esercizio (anche per vedere se ho fatto bene i conti):
se \(f \in \mathbb{R}[x,y]\) è armonico e si scrive come\[f(x,y) = a_{0,0} + \sum_{p,q > 0} a_{p,q}\,x^p y^q\] allora
\[
f(x,y) = a_{0,0} + \sum_{p,q > 0} \frac{a_{p,q}}{2^{p+q-1}} i^{q}[z^{p+q}]
\]
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