Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Posto due esercizi in cui non so proprio come muovermi.
1) Nel piano $E^2$ in cui è fissato un riferimento cartesiano determinare le equazioni delle isometrie che portano in sè la retta $r: x-y-1=0$
2) Nel piano $E^2$ in cui è fissato un riferimento cartesiano di origine O, si indichi con $T$ il triangolo con vertici in $O,A(1,0),B(0,1)$. Scrivere le equazioni di una affinità non isometrica che porta $T$ in sè.
Grazie mille.
Dato un insieme di numeri positivi reali $p_{ij}$ tali che $\sum_{j=1}^n p_{ij}=1$ verificare che la matrice $A nxxn$ composta dagli elementi dell'insieme prima definito ammetta autovalore $\lambda=1$
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Ho provato a risolvere il quesito con la formula di Laplace per il determinante $det(A)=\sum_{j=1}^n {p_{ij}*C_{ij}}$ dove $C_{ij}$ è il complemento algebrico della coppia (i,j), cioè $C_{ij}$ è data da $(- 1)^{i+j}$ per il determinante del minore di ...
Salve devo calcolare l'area mediante Gauss Green, sapendo che $m(E)=intxdy=-intydx$ utilizzare la prima o la seconda formula è analogo giusto?Allora mi domando perchè l'area delll'arco di cicloide
$x=r(t-sint), y=r(1-cost)$
con la prima formula mi viene $-pi$ con la seconda $pi$ credo sia un problema di orientare la curva... Potrestre farmi vedere nel primo caso come viene e nel secondo anche... E in quali casi si usa il prima relazione e in quali la seconda.
Nella mia ...
Se $D$ è la porzione del primo quadrante contenuta nella corona circolare limitata dalle circonferenze di centro l'origine e raggi $1$ e $2$,$D$ è un dominio normale?Ovvero posso dire che $D={(x,y)in[0,2]xR:sqrt(1-x^2)<=y<=sqrt(4-x^2)}$?
Grazie
ho un esercizio che mi chiede di dire se i 3 punti $P_0(1,2,3)$, $P_1(2,1,3)$ e $P_2(0,3,1)$ sono allineati. come si procede per stabilirlo??
grazie
Salve a tutti! sono uno studente di geometria e sto trovando qualche problema nell'affrontare questo esercizio:
a) dire quali sono gli autovalori e gli autovettori dell’applicazione lineare T che trasforma ogni punto di nel suo simmetrico rispetto al piano di equazione x+2y+3z=0. Scrivere la matrice dell’applicazione T rispetto alla base canonica di $R^3$.
Il fatto è che ho appena iniziato a studiare autovettori e autovalori e non ho ancora capito come collegarli ...
ho 2 esercizi in cui vorrei capire la differenza:
1. trovare la dimensione del sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(1,2,-1,1)$ , $v_2=(0,2,1,3)$ e $v_3=(2,2,-1,-1)$
qui devo costruire la matrice con i vettori come righe e la dimensione del sottospazio è data dal rango della matrice, ovvero 3.
2. trovare una base del sottospazio vettoriale di $RR^3$ generato dai vettori $v_1=(1,0,1)$ , $v_2=(1,1,0)$ e $v_3=(2,-1,3)$
chi mi spiega la ...
calcolare l'area del triangolo di vertici generato dai 3 vettori $P_0=(0,0,0)$, $P_1=(2,0,1)$ e $P_2=(1,1,-1)$
l'area la trovo facendo il prodotto vettoriale tra $(P_1 - P_0)$ e $(P_2 - P_0)$ e dividendo il risultato per 2..giusto??
devo calcolare la norma del prodotto vettoriale o basta il valore assoluto??
Perché?
(Con R(l) intendo i reali con la topologia generata dagli intervalli [a,b) ) qualcuno mi saprebbe dare un suggerimento per dimostrare questo fatto? Grazie!
non riesco a dimostrare che quattro vettori del tipo $(1,t,t^2,t^3)$ con quattro $d$ diversi sono linearmente indipendenti... qualcuno potrebbe aiutarmi? il fatto è che io scrivo quello che otterrei imponendo una combinazione lineare di essi uguale a zero, ma poi non so come concludere:
$a_1(1,t_1,t_1^2,t_1^3)+a_2(1,t_2,t_2^2,t_2^3)+a_3(1,t_3,t_3^2,t_3^3)+a_4(1,t_4,t_4^2,t_4^3)=0$
quindi avrei le equazioni
$a_1+a_2+a_3+a_4=0$
$a_1t_1+a_2t_2+a_3t_3+a_4t_4=0$
$a_1t_1^2+a_2t_2^2+a_3t_3^2+a_4t_4^2=0$
$a_1t_1^3+a_2t_2^3+a_3t_3^3+a_4t_4^3=0$ e ora? Grazie
Ciao a tutti, posto un esercizio di geometria algebrica che non riesco a risolvere. Spero che qualcuno mi possa dare una mano.
Dimostrare che le varietà proiettive
$X,Y \subset \mathbb{P}^3$
definite rispettivamente da
$xw=yz$
e
$x^2+y^2+z^2=w^2$
non sono isomorfe.
Salve a tutti.
Sto preparando l'esame di geometria per informatica e tra gli esercizi distribuiti dalla prof ce n'è uno che proprio non riesco a risolvere.
Copio pari-pari il testo dell'esercizio:
Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ e $f: V \rightarrow V$ una applicazione lineare. Sia $W = {u in V => f^2(u) = u}$ dove $f^2 = f@f$ .
Dimostrare che $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
Nel caso in cui $V = RR^3$ e ...
Se uno spazio topologico è T1 ma non T2 possono esserci successioni convergenti a più di un limite (e questo si sa).
Ho trovato su un libro un esempio, ma secondo me non è del tutto corretto, cito: "Se X è uno spazio infinito con la topologia cofinita, ogni successione composta da infiniti termini converge a qualsiasi punto dello spazio.".
Se fosse così, in N (con topologia cofinita) la successione {0,1,0,2,...,0,n,...} dovrebbe convergere a tutti i numeri naturali; invece (se ho capito ...
Le coordinate di $u$ nella base canonica sono esattamente $(5,5,3,1)$ (ricorda che sei in $RR^4$).
Comunque non sono sicuro di aver ben compreso la domanda.
Evidentemente $V="span"{v_1,v_2}$ ha dimensione due in $RR^4$, pertanto è isomorfo a $RR^2$ con l'isomorfismo univocamente determinanto dalle assegnazioni $phi(v_1)=(1,0)=e_1$ e $phi(v_2)=(0,1)=e_2$. Ora $v_1,v_2$ stanno in $RR^4$ e $e_1,e_2$ stanno in ...
Ciao a tutti. Ho un problema riguardante l'immagine di una matrice.
Essa è definita come
Im A= [v: Av=u]
essendo una trasofrmazione lineare A rappresentata dalla matrice A:V=>U con v appartenente a V e u appartenente a U.
ho problemi ad esempio quando sui miei appunti trovo una cosa del genere:
Im[ 0 0 0; 1 a2 a^2]=Im [0;1]
(il ; separa le righe della matrice)
Ora perchè è vera quell'uguaglianza?
In genere cos'è l'immagine in termini di sottospazi generati ossia span?
Spero ...
Devo dimostrare che date due matrici $n*n$ semidefinite positive $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ si ha che $\sum_{ij}a_{ij}b_{ij}>=0$
Ora io so che $x^{t}Ax>=0$ per ogni $x \in \mathbb{R}^n$ e $x^{t}Bx>=0$ per ogni $x \in \mathbb{R}^n$ quindi potrei dire $x^{t}Axy^{t}By>=0$ per ogni $x,y \in \mathbb{R}^n$ giusto? quindi ora mi era venuto in mente di scegliere un $x$ e un $y$ per arrivare alla tesi, ma non riesco a capire quali dovrei scegliere, mi aiutate ...
Ciao, non sono in grado di fare questo esercizio: dimostrare che R è omeomorfo ad un suo generico intervallo aperto (a,b).
Non mi viene in mente una funzione per metterli in relazione!
Grazie a chi mi darà una mano
Paola
qualcuno mi sa dire se il seguente procedimento per calcolare la dimensione del nucleo è giusto??
Ho una matrice A $((2,0,-2t),(0,t+1,0),(1,0,t+1))$ Calcolo il determinante e trovo due valori di t, $t=-3+-sqrt5 $. Per $t!=-3+-sqrt5$ il $det!=0 $quindi la dim(ker(A))=1 perchè il nucleo è formato dal solo vettore nullo. A questo punto devo calcolare per i valori di t trovati la dim del nucleo...ma non riesco ad andare avanti!! grazie per l'aiuto
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