Matrici
chi mi spiega quando 2 matrici commutano??
Risposte
non so se esista un tale criterio...sicuramente se una è nxt l'altra deve essere txn..
intendi x come segno di moltiplicazione??
La prima considerazione da fare è che una condizione necessaria (ma non sufficiente) affinchè 2 matrici $A$ ,$B$ commutino è che siano ambedue $n$x$n$ (diremo di ordine $n$).
Non credo ci sia un criterio generale, però si può ragionare così:
sia $B$ la matrice (facciamo di ordine 2, tanto per semplificarci la vita...) oggetto degli studi. Vogliamo sapere quali matrici $A in M_n(K)$ commutano con lei. Siamo cioè interessati a determinare il seguente insieme:
$X:={A in M_n(K) | BA=AB}$
Siano $B=((a b),(c d))$ (con $a$,$b$,$c$,$d$) coefficienti in un corpo e $A=((x_1 x_2),(x_3 x_4))$ (una generica matrice d’ordine 2); scriviamo la precedente in maniera più esplicita:
$AB=BA$ , quindi $((a b),(c d))((x_1 x_2),(x_3 x_4))=((x_1 x_2),(x_3 x_4))((a b),(c d))$
Facciamo il prodotto tra le 2 matrici ed otteniamo il sistema (scrivo già la matrice dei coefficienti):
$((0 -b b 0 0),(-b (a-d) 0 b 0),(c 0 (d-a) c 0),(0 c (–b) 0 0))$
Dunque $X$ coincide con l’insieme delle soluzioni di questo sistema (si noti che $X$ è sottospazio vettoriale di $K^4$)...
La chiave di lettura è la seguente... Se $((1),(4),(0),(-3))$ è un vettore che sta nell’insieme delle soluzioni, allora la matrice $((1 4),(0 -3))$ commuta con $B$.
Questo ci permette di osservare alcuni fatti:
(i)$((0),(0),(0),(0))$ è sempre soluzione del sistema (infatti la matrice $((0 0),(0 0))$ commuta banalmente con ogni altra matrice di ordine 2;
(ii) Siano $a=d$ e $b=c=0$ (cioè sia $B$ una matrice scalare): vediamo che la matrice incompleta del sistema diventa la matrice nulla di ordine 4. Dunque lo spazio delle soluzioni è tutto $K^4$. Ciò ci dice che, in questo particolare caso, ogni matrice di ordine 2 commuta con $B$.
Non credo ci sia un criterio generale, però si può ragionare così:
sia $B$ la matrice (facciamo di ordine 2, tanto per semplificarci la vita...) oggetto degli studi. Vogliamo sapere quali matrici $A in M_n(K)$ commutano con lei. Siamo cioè interessati a determinare il seguente insieme:
$X:={A in M_n(K) | BA=AB}$
Siano $B=((a b),(c d))$ (con $a$,$b$,$c$,$d$) coefficienti in un corpo e $A=((x_1 x_2),(x_3 x_4))$ (una generica matrice d’ordine 2); scriviamo la precedente in maniera più esplicita:
$AB=BA$ , quindi $((a b),(c d))((x_1 x_2),(x_3 x_4))=((x_1 x_2),(x_3 x_4))((a b),(c d))$
Facciamo il prodotto tra le 2 matrici ed otteniamo il sistema (scrivo già la matrice dei coefficienti):
$((0 -b b 0 0),(-b (a-d) 0 b 0),(c 0 (d-a) c 0),(0 c (–b) 0 0))$
Dunque $X$ coincide con l’insieme delle soluzioni di questo sistema (si noti che $X$ è sottospazio vettoriale di $K^4$)...
La chiave di lettura è la seguente... Se $((1),(4),(0),(-3))$ è un vettore che sta nell’insieme delle soluzioni, allora la matrice $((1 4),(0 -3))$ commuta con $B$.
Questo ci permette di osservare alcuni fatti:
(i)$((0),(0),(0),(0))$ è sempre soluzione del sistema (infatti la matrice $((0 0),(0 0))$ commuta banalmente con ogni altra matrice di ordine 2;
(ii) Siano $a=d$ e $b=c=0$ (cioè sia $B$ una matrice scalare): vediamo che la matrice incompleta del sistema diventa la matrice nulla di ordine 4. Dunque lo spazio delle soluzioni è tutto $K^4$. Ciò ci dice che, in questo particolare caso, ogni matrice di ordine 2 commuta con $B$.
l'esercizio che ho mi chiede:ù
per quali valori di $\lambda in RR$ le matrici $A=((1,1),(1,0))$ e $B=((1,0),(\lambda,1))$ commutano??
calcolando AB ottengo -1.
ottengo lo stesso calcolando BA.
quindi la soluzione dell'esercizio è che le matrici commutano per qualunque $\lambda in RR$
chi conferma??
grazie
per quali valori di $\lambda in RR$ le matrici $A=((1,1),(1,0))$ e $B=((1,0),(\lambda,1))$ commutano??
calcolando AB ottengo -1.
ottengo lo stesso calcolando BA.
quindi la soluzione dell'esercizio è che le matrici commutano per qualunque $\lambda in RR$
chi conferma??
grazie
Come fai ad ottenere un numero reale da un prodotto riga per colonna?
$AB=[(1+\lambda, 1),(1,0)]$
$BA=[(1,1),(1+\lambda,\lambda)]$
Queste due matrici ottenute devono essere uguali, eguaglia dunque i corrispettivi elementi ed ottieni il valore di $\lambda$.
Paola
$AB=[(1+\lambda, 1),(1,0)]$
$BA=[(1,1),(1+\lambda,\lambda)]$
Queste due matrici ottenute devono essere uguali, eguaglia dunque i corrispettivi elementi ed ottieni il valore di $\lambda$.
Paola
scusa nn sono stato chiaro.. -1 è il determinante sia di AB che di BA.
Ah ecco... Ma comunque non c'entra, commutando potrebbero venirti 2 matrici diverse con lo stesso determinante.
La commutatività a cui si riferisce l'esercizio pare quella del prodotto riga per colonna, e il determinante non c'entra.
Paola
La commutatività a cui si riferisce l'esercizio pare quella del prodotto riga per colonna, e il determinante non c'entra.
Paola
quindo commutano per $\lambda =0$??
Esatto!
Paola
Paola
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